高等数学中知识结构的内在美

张 旭

天津市财贸管理干部学院，天津 300170

数学不仅有形式的优美、雅致和协调，更存在思想方法的伟大、深邃和有力。这种理性之美是一种深层次的、本质的、内在的东西。它将无味的数学内容构成了美丽与壮观的数学大厦，同时也蕴含了一种哲学的美，一种朴素的美，一种理性的美。在教学中，我们可以通过讲解、剖析、演示等形式，使数学的内容活起来，动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从对数学的显性美提高到对隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感。

一、数学知识的理论美

数学的理论美主要体现在：数学定义的准确；数学语言的精炼；数学逻辑推理的严谨；数学方法的巧妙灵活；数学结构的系统完美；数学结论的确定无疑与无可争辩等方面。在高等数学中，极限理论的建立把数学结构推向了更高的层次。这门课程以极限思想为灵魂，以微积分为核心，包括级数在内，都是从量的方面研究事物运动变化的数学方法。本质上这是几种不同性质的极限问题，如连续性是自变量增量趋于零时，函数对应增量的极限；导数是自变量增量趋于零时，函数的增量（偏增量）与自变量增量之比的极限；一元或多元积分都是和式的极限，而无穷级数则是密切联系序列极限的另一种极限。微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，积分则从宏观上揭示函数有关的整体性质，它们之间通过微积分基本定理联系起来；广义积分把无穷级数与积分的内部沟通起来；而微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机地联系起来，展示了它们之间的内在的依赖转化关系。所以完全可以说，极限贯穿高等数学的始终，没有极限，就没有高等数学。这种理论美令人叹服，使我们在美的享受中加深了对数学理论的理解。

二、数学结构的简洁美

简洁美在数学中除了反映在一些极为简洁的数学符号及表达式以外，还反映在逻辑结构上，如对公理体系的要求必须具备相容、独立和完备，从为数甚少的基本概念和公理出发，推演出庞大的理论体系。数学家们通过实践也证明了数学的简洁性与严格性不可能产生矛盾。正如爱因斯坦所说的“我们面对的这个世界，可以由音乐的符号组成，也可以由数学公式组成。”比如数列极限的ε-N定义：对∀ε>0，∃n>0，当 n>N 时，<ε，也可以从以下几个角度体现：当n无限增大时，xn趋近于定数xn的实质，

⇔只要n充分大，点xn与点xn就可以任意接近；

⇔只要n充分大，点xn与点xn的距离就可以任意小；

⇔任意给定ε>0，存在正整数N，当n>N时，<ε；

因此，数学的简单美既是数学发展的出发点，也是最终的目标。

三、数学内容的和谐美

高等数学中定义和定理以及数、式、形之间，各个知识块既相互独立、自成体系，又依一定的逻辑关系相互贯通、相互派生，表现为高度的和谐统一。和谐美贯穿于高等数学这个庞大的知识网络内。例如，函数与极限是贯穿高等数学的两个最基本的概念，函数是微分学研究的对象，而微积分的定义就是极限概念及其推论，它们之间体现了知识的联结美。又例如微分中值定理，其本质是闭区间上函数的增量与这区间上某点的导数之间的关系，它是微分理论中的重要组成部分，也是导数应用的桥梁。其中罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广，并且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高阶导数情况下的推广和应用，它是更一般的微分中值定理形式。它们充分表达了定理之间的和谐与统一。再例如，多元微积分学中的格林、高斯、斯托克斯三个公式，就其公式本身也呈现出形式美，结构美，更蕴藏着高度的和谐性。格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系；高斯公式建立了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；斯托克斯公式则建立了曲面∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分之间的关系。这三个公式既有联系又有区别，三个公式在向量场中都有重要而实际的应用美。斯托克斯公式是格林公式的推广，而它们又同时都是牛顿一莱布尼兹公式f（x）dx=F（b）-F（a）的推广和直接应用。这些和谐的公式给我们清新的感觉，这种感觉是比自然美更高层次的数学美，而只有掌握数学内在联系的人，才能体验到这种数学美。

四、数学规律的魅力美

数学中的许多性质、定理及结论极具魅力，它们在排列结构上工整有序，内容深刻独到，许多潜在规律也奇异迷人，令人称绝。例如多元函数 z＝f（u，v），u＝φ（x，y），v＝φ（x，y），用美丽的树形图能揭示函数的复合关系和链式求导法则的具体形式之间的联系，让我们一目了然。根据树形图，我们用简洁的文字叙述链式求导公式，即“枝枝依次求导，每枝导数连乘，枝枝之间相加”。我们抓住这个由基本形式得出的规律，可以推广到任何一种复合情形下的链式求导公式，这是由形式美上升到感性美和理性美的和谐统一。

五、数学知识的归纳总结美

在数学的教学过程中，归纳总结是必不可少也是极其重要的一个过程，将离散的问题系统化、规律化，不仅可以有效地将一些知识点串接起来，而且使之具有了整体美和清晰感。

1.比如：在讲完一元函数的微分概念后，我们可以将极限、连续、可导、可微等相关概念之间的关系归纳总结如下：

在一元函数中可微与可导等价：可导⇒连续⇒极限存在⇒左极限＝右极限，反过来，若左极限＝右极限⇔极限存在，若又有左极限＝右极限＝函数值⇔函数在该点处连续。

2.我们若能从数学美的角度把教材固有的客观规律，归纳整理为系统的图表，便能很自然地反映教材相关内容间的客观联系，帮助学生加深理解，灵活运用。比如多元函数的积分，种类繁多，解法各异，但联系密切。借助于数学间的和谐统一，可画出七种积分间的关系图，各种不同类型积分间的相互关系，如图1所示。

这种归纳总结美帮助我们把知识系统化、条理化。正如大数学家希尔伯特所述，在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念间的亲缘关系。同时在它的不同部分之间，也有大量的相似之处。我们还注意到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先想不到的关系。因此随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地表现出来。

六、数学结构的辩证统一美

数学中充满着辩证法，它在为人们展示着富有哲理的思维美的同时，也为辩证法的普遍性提供了大量生动的例子。统一性是数学结构美的重要标志，一些表面看来不相同的概念定理、法则，在一定条件下可以处于一个统一体中。

1.直与曲

直与曲是两个完全不同的数学概念。从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程。因此，直与曲的差别是明显的，人们面对“直”与“曲”这样一对矛盾，在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼；而辩证唯物主义则认为，在一定条件下曲与直是可以相互转化的，正如恩格斯所说：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线是一回事。”高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了初等数学所不能达到的目的。

在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态，实现局部范围内的“以直代曲”，这是一种基本的辩证思想方法。例如，在求由曲线y=x2及直线x=0，x=1，y=0所围成的曲边梯形所围面积时，人们将“以直代曲”的朴素辩证法作为计算的指导思想，把一小段曲线近似地视为直线，从而可将小曲边梯形看作是小矩形，将曲边梯形的面积看作是n个小矩形的面积和，这样就得到了曲边梯形面积近似和显然，只有当曲线非常短时，才能将其视为直线，而这只需要将大曲边梯形化成多个小曲边梯形，即只要小曲边梯形的个数n→∞，就可保证上述推理成功。于是，Sn=

将“以直代曲”的朴素辩证唯物主义思想用于一般推理，人们建立了定积分的概念，即：再如， 导数的概念 f′（x是由极限给出的，而且是未定型的极限，于是由极限可以求导数，通过导数也可以求极限，L′Hospital法则正是这种思想的具体体现。

2.有限与无限

从有限发展到无限，是认识上的一次重大飞跃。有限与无限之间存在着质的差异，在高等数学中，我们一方面可以通过有限来认识无限，另一方面，我们还可以通过无限来表示有限，从而实现有限与无限的相互转化。

例如，无理数之间联系很紧密，但是无理数与有理数之间也有一座美丽的桥梁—级数，级数让无穷归为有限，凌乱归为整齐，有着丰富深刻的思想内涵，又有和谐简洁和对称美的形式。无论是泰勒级数还是傅立叶级数它们都营造了一种“此中有真意，欲辩已忘言”的意境，给人的理智以极大的美感享受。

取得项数越多，得到的π和e越精确。这种数学现象确实透露出一种绵长的诗的意象，因此级数又被冠以美誉—“数学诗”。

数学的魅力不仅在于形式的简洁、和谐与优美，更在于以严密的结构和逻辑推理揭示出广袤的自然规律的真实图景。数学结构的这种内在美，来自各部分的和谐秩序，并能为纯粹的理智所领会，可以说，正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷的美景的骨架，使我们面对一个秩序井然的整体，能够预见数学定理。这种理念美完全要靠数学美的自身魅力去唤起，在教学中，我们要深入挖掘和呈现这些隐藏在背后的美学思想、美学价值、美学功能，从而培育学生的审美思维方法和美学观念。

［1］吴振奎.数学中的美［M］.上海：上海教育出版社，2004.

［2］张顺燕.数学的美与理［M］.北京：北京大学出版社，2004.

［3］同济大学应用数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］易南轩.数学美拾取［M］.北京：科学出版社，2002.

［5］沈世云，郑继明.浅析《高等数学》中的美学思想［J］.重庆邮电学院学报，2004，（6）：2—3.