微元法在新课程标准教材中的体现

王胜利

(河南省宜阳第一高级中学,河南宜阳 471600)

在复杂的物理过程中,某一物理量可能一直都在变化着,这种情况下,把整个过程分割为许多小过程或把研究对象分割成大量的微小单元,只要分割后的过程或单元足够小,对这种微小过程或单元,就可以把变化的量看作恒量来处理,从而使问题得到解决,这就是微元法.这种以大化小,以恒代变的思维方法,是物理学先人首创的解决连续变化问题的科学思维方法.新课程标准与原教学大纲相比,最显著的变化是课程目标发生了根本改变,课程的功能由过去单纯强调知识与技能转向同时关注学生学习的过程与方法、情感态度与价值观.这一变化在新课程标准教材中有所体现,其中微元法就是一例.

1 微元法在教学内容中的体现

(1)瞬时速度.“……平均速度只能粗略地描述运动的快慢.为了使描述精确些,可以把Δt取得小一些,物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内,运动快慢的差异也就小一些.Δt越小,运动的描述就越精确.如果Δt非常非常小,就可以认为表示的是物体在时刻t的速度,这个速度叫做瞬时速度.”

图1

(2)匀变速直线运动的位移.该节教材是教师培养学生掌握微元法的最好素材.教材首先指出匀速直线运动的位移在v-t图像中如何表示,接着通过一个纸带问题,讨论怎样估算做匀变速运动的小车,在某段时间内运动的位移,并类比匀速直线运动得出这种估算方法也可以用 v-t图像表示[图1(甲)],进而指出“上面的做法是粗糙的.为了精确一些,可以把运动过程划分为更多的小段…….”[图1(乙)]最后进行概括总结“可以想象,如果把整个运动过程划分得非常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体的位移了.这时,“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了,这些小矩形合在一起成了一个梯形OABC.此梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从 O(此时速度是 v0)到 t(此时速度是 v)这段时间间隔的位移.”[图1(丙)]整节教材内容的处理将微元思想体现得淋漓尽致,学生在学到知识的同时也掌握了用微元法处理问题的方法.

(3)曲线的切线.如图2所示,过曲线上 A、B两点作直线,这条直线叫做曲线的割线.设想B点逐渐向A点移动,这条割线的位置也就不断变化.当B点非常接近A点时,这条割线就叫做曲线在 A点的切线.

(4)重力的功.教材首先研究物体竖直向下运动时,重力做的功;接着研究物体沿着倾斜直线向下运动重力做的功;最后研究物体沿任一路径运动重力做的功,如图 3所示,“我们把整个路径分成许多很短的间隔,

图2

图3

由于每一段都很小,因而可以近似地看作一段倾斜的直线.设每段小斜线的高度差分别是

则物体通过每段小斜线时重力所做的功分别为

物体通过整个路径时重力所做的功,等于重力在每小段上所做功的代数和,即

这里的分析表明,物体运动时,重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关,而跟物体运动的路径无关,功的大小等于物重跟起点高度的乘积 mgh1与物重跟终点高度的乘积 mgh2两者之差.

此外,探究性课题“探究弹性势能的表达式”,做一做“用传感器观察电容器的充电和放电”也都是培养学生掌握微元法的极好素材,在实际教学过程中应很好地加以利用.

2 微元法在教材习题中的体现

(1)选修3-2第14页第7题.1831年10月28日,法拉第在一次会议上展示了他发明的圆盘发电机.它是利用电磁感应的原理制成的,是人类历史上的第一台发电机.据说,在法拉第表演他的圆盘发电机时,一位贵妇人问道:“法拉第先生,这东西有什么用呢?”法拉第答道:“夫人,一个刚出生的婴儿有什么用呢?”图4是这个圆盘发电机的示意图:铜盘安装在水平的铜轴上,它的边缘正好在两磁极之间,两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触.使铜盘转动,电阻中就有电流通过.

图4

(1)说明圆盘发电机的原理.

(2)圆盘如图示方向转动,请判断通过R的电流方向.

解析:(1)如果我们将圆盘沿半径方向分割为很多狭窄的金属条(图5),则每根金属条就会转动切割磁感线产生感应电动势,转动的圆盘可以看作无数多个相同的电源并联在一起,根据右手定则知道,圆盘的边缘(即铜片D)是电源的正极,圆盘转轴(即铜片 C)则是电源的负极.由于电源与所接电阻R构成闭合电路,所以铜盘转动时,回路中就会有电流通过.这就是圆盘发电机的工作原理.

(2)通过上面的分析可以知道,圆盘如图示方向转动时,通过电阻的电流方向应该从下向上.

假设铜盘转动的角速度为 ω,铜盘的直径为D,则每根金属棒转动切割磁感线产生的电源电动势大小为.

图5

无数多根金属棒并联后,电源电动势仍为

电源内阻为

由于金属棒是无数多根,即n→∞,故 r→0.

根据闭合电路欧姆定律,通过电阻 R的电流大小为

(2)选修 3-2第29页 3题.在科技馆中常看到这样的表演:一根长1 m左右的空心铝管竖直放置[图 6(甲)].把一枚磁性很强的小圆柱形永磁铁从铝管上端放入管口,圆柱直径略小于铝管的内径.根据一般经验,小圆柱自由落下1 m左右的时间不会超过0.5 s,但把小圆柱从上端管口放入管中后,过了许久它才从铝管下端落出.小圆柱在管内运动时,没有感觉到它跟铝管内壁发生摩擦,把小圆柱靠着铝管,也不见它们相互吸引.是什么原因使小圆柱在铝管中缓慢下落呢?如果换一条有裂缝的铝管[图6(乙)],圆柱在铝管中的下落就变快了.这又是为什么?

图6

解析:我们假想将铝管分割成许许多多小铝环,如图6(丙)所示.当小圆柱形永磁铁在铝管中下落时,对于其上的小铝环 A而言,小圆柱远离 A,对于其下的小铝环 B而言,小圆柱靠近 B,小铝环 A的磁通量减小,小铝环B的磁通量增加,小铝环A、B中会有感应电流产生,感应电流的磁场就要阻碍每个小铝环磁通量的变化,这样小铝环 A对小圆柱有引力作用,小铝环B对小圆柱有斥力作用.由此可知,小圆柱在铝管中下落时,小圆柱上方的铝管对其不停施加引力,下方的铝管对其不停施加斥力,造成小圆柱在铝管中缓慢下落.如果铝管有裂缝,铝管内不会形成感应电流,铝管对小圆柱不会产生磁力作用,自然小圆柱下落就变快了.

3 用微元法解决教材中的两个问题

(1)第二宇宙速度

在地球表面发射出去的人造天体能够摆脱地球引力的羁绊而环绕太阳运行所必须具有的速度叫做第二宇宙速度,也叫脱离速度,其大小为 11.2 m/s.这一数值是怎样得到的?

如图7所示,设地球的质量为M,半径为 R,将一质量为 m的人造天体以初速度v0沿半径方向发射出去,人造天体先后经过相距很近两点 A、B,如果 A点距地心的距离为r,B点距地心的距离为r+Δr,在这个很小的区间Δr上,万有引力对人造天体做的功为

图7

图8

因此,人造天体从地球表面到脱离地球,万有引力对人造天体做的功为

(2)示波器中的锯齿形扫描电压的有效值

第2个等份时间内产生的热量为……

第n个等份时间内产生的热量为

设此交变电压的有效值为 U,则有

解得

总之,微元法是我们研究解决物理问题的重要方法之一,在新课改理念日益深入人心的今天,我们在教学实践中,不仅要关注学生对知识的学习,更要关注学生对处理问题方法的掌握,着力培养学生解决问题的能力.