弹性碰撞中的漏解讨论

马 蔚

(江苏省如东高级中学,江苏如东 226400)

两物体发生相互作用,如果同时满足动量守恒和动能守恒,则作用后两者的速度可能取什么值?各类教材、教参在进行数学推导时,只求出了其中的一组解,而舍去另一组解.那么另一组解是否有物理意义呢?只要设计出一个合适的物理模型,就会发现,两组解可以在不同的情景中出现,都是有意义的.具体分析如下:

1 弹性碰撞模型

如图1所示,设质量分别为 m1、m2的两个小球,分别以初速度v1、v2在光滑水平面上沿同一直线做匀速直线运动.相遇后发生弹性碰撞,求碰撞后两球的速度分别等于多少?

设碰撞后两物体的速度分别为 v1′、v2′,则由动量守恒定律及机械能守恒定律得

图1

移项得

由(4)÷(3)式得

联立(3)、(5)式得

上述求解过程中,用(4)式÷(3)式时,将二元二次方程化为二元一次方程,从而漏掉一组解.当(3)式两边皆等于零,即 v1′-v1=0,v2′-v2=0 时,不能以(3)式作分母 .即漏解为

那么,该组解在上述弹性碰撞中有无物理意义呢?

对图1,从速度变化的角度看,要保证这两个小球发生碰撞,必须满足 v1＞v2.碰撞后,m2球的速度必定增大,即v2′＞v2;若 m1球继续向右运动,其速度必定减小,即 v1′＜v1,所以(8)、(9)两式不能成立.从能量变化的角度看,若(8)、(9)式成立,就意味着 m1从 m2球中穿过,而这种碰撞必然会损失机械能的,与弹性碰撞的条件不符.可见在图1所限定的弹性碰撞中,v1′=v1,v2′=v2这组解是不可能成立的.

2 类弹性碰撞模型

图1所描述的弹性碰撞,只是满足动量守恒和动能守恒的一种特殊情形.而公式(1)、(2)却适用于各种满足动量守恒及动能守恒的问题.我们可以设计出一种更具一般性的物理模型,使之包含(6)～(9)4式确定的2组解所描述的物理情景.

如图2所示,将图1中的m2小球改为一个内、外均光滑的弯管,此管可在光滑水平面上自由滑动.设弯管自然弯曲,管径略大于小球直径,m1球在此管中运动时,两者之间的相互作用是完全弹性的.若 m1和m2球的初速度分别为 v1、v2,m1从 m2球的 A端进入,试讨论 m1与m2球发生作用后,两者速度的可能值.

当小球在弯管中运动时,两者之间无摩擦力作用,也不发生非弹性碰撞,故系统机械能守恒.两物体间的相互作用结束后,有两种可能状态:一是m1球越过最高点B后,从C端滑出;二是 m1球没能达到最高点B,最后从 A端返回.这两种情形,系统末状态的势能都等于初始值,故系统动能守恒,类似于弹性碰撞,公式(1)、(2)适用.

当 m1球越过 B点从m2管的 C端运动出来时,v1′＞v2′,(6)、(7)两式所确定的解不合题意,而(8)、(9)式所描述的解与实际情景吻合;若 m1球速度较小,未能达到 m2管的最高点 B,便返回 A端,则 v1′＜v2′,此时所反映的物理情景与图 1相同,其解为(6)、(7)两式.

可见,图2所假设的模型概括了两种可能的结果.若根据题目已知条件不能判断 m1是否越过 B点,则公式(1)、(2)的完整解应为由(6)～(9)四式组成.

图2

3 两类模型的比较与讨论

3.1 作用过程中系统动能与动量的变化

图1和图2所示的两种模型,在两个物体相互作用的过程中,具有不同的动量转化形式.图1中有动能与弹性势能的转化.当两球速度相等时,两球的形变最大,即弹性势能最大,此时系统动能最小;可见弹性碰撞的过程中,系统动能并不守恒,只有在两物体作用前后、系统的动能才是相等的,但动量是一直不变的.图2中有动能与重力势能的转化.小球不仅有水平方向的速度在改变,而且竖直方向的速度也在时刻变化着,因此在两者作用过程中,系统的动能和动量都不守恒,但在始、末状态,动量和动能都相等.

3.2 作用结束后末速度大小与质量的关系

图1所示模型与图2中小球从 A端返回的情形相同,此时以两种极限情况讨论:

(1)若 m1≫m2,则由(6)、(7)两式可得两者碰撞后的速度分别为

这种情景可理解为一个质量很大的铅球与一只乒乓球发生碰撞,碰后铅球速度近似不变,而乒乓球速度增大.

(2)m1≪m2,则由(6)、(7)两式可得两者碰撞后的速度分别为

这种情景可理解为一只乒乓球撞击一个质量很大的铅球,碰后铅球速度近似不变,而乒乓球以原来的速度反弹.

上述两种结果表明,两物体作用后的末速度大小与两者的质量大小有关.

图2中,若 m1球越过B点后从C端滑出,仍可以两种极限情况讨论:

(3)若 m1≫m2,则 m2管的动能忽略不计,作用后 m1球的动能近似不变,进而得两物体的末动量也不变,故 m1从 m2的 C端滑出时,v1′=v1,v2′=v2.

(4)若 m1≪m2,则 m1球对 m2管的作用不足以改变m2管的动能,m2管的动能近似不变,同样可得到两物体的末动量也不变,仍有 v1′=v1,v2′=v2.

可见,两物体作用后的末速度大小与两者的质量大小无关,与(8)、(9)两式所得结果吻合.

一般说来,根据物理公式求出的结果若有两组解,则需进行检验,舍去不合题意的解.但不合题意的解也往往有其物理意义,通常可以找到另一种物理模型,出现另一组解所描述的情形.教学过程中,注意引导学生建立模型,探究每一组解的物理意义,对培养学生严谨的思维习惯,开拓思路,探索各种物理现象间的内在联系是大有裨益的.