具偏差变元泛函微分方程周期解的存在定理

陈新一

(西北民族大学 中国民族信息技术研究院， 甘肃 兰州 730030)

1 问题的提出

x″(t)+h(x(t))f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)

(1)

2 主要结果

定理1 如果存在常数r1≥0,r2≥0,a>0,H>0,K>0和D>0,使得

[A2] 0

则当4π[Hr1+(2π+1)r2]<1时,方程(1)至少存在一个2π周期解.

证明 考察下列方程

x″(t)+λh(x(t))f(x′(t))+λg(x(t-
τ(t)))=λp(t),λ∈(0,1).

(2)

再由积分中值定理知,存在ξ∈[0,2π],使得

h(x(ξ))f(x′(ξ))+g(x(ξ-τ(ξ)))=0.

(3)

下面证明存在t*∈[0,2π],使得

(4)

|x(ξ-τ(ξ))|≤D.

(5)

(6)

由(5)和(6)式易见,无论是r1=0还是r1>0,均有

(7)

由于ξ-τ(ξ)∈R,因而一定存在整数k和t*∈[0,2π],使得ξ-τ(ξ)=2kπ+t*,故由(7)式得

于是(4)式成立. 由此得

(8)

令F(z)=4π[Hr1+(2π+1)(r2+z)],z∈[0,+∞). 由题设条件4π[Hr1+(2π+1)r2]<1知F(0)<1. 又F(z)在[0,+∞)上连续,因而存在常数δ0>0,使得

F(z)=4π[Hr1+(2π+1)(r2+z)]<1,z∈(0,δ0].

(9)

4π[Hr1+(2π+1)(r2+ε)]<1.

(10)

对上述ε>0,由题设[A4]知,一定存在与λ和x无关的常数ρ>D,使得

(11)

设E1={t:t∈[0,2π],x(t-τ(t))>ρ},E2={t:t∈[0,2π],x(t-τ(t))<-ρ},E3={t:t∈[0,2π],|x(t-τ(t))|≤ρ}. 由(3)式,得到

即

由于

故由上式得

(12)

由E3,E2的定义和(11)式知

(13)

和

(14)

显然KerL=R. 定义投影算子P和Q分别为

方程(2)即为算子方程Lx=λNx. 根据对(2)周期解界的估计及已知条件,可知对∀x∈domL∩∂Ω和λ∈(0,1)有Lx≠λNx,对任意x∈KerL∩∂Ω,则x=M(>D)或者x=-M,因此有

(15)

作变换H(x,s)=sx+(1-s)g(x),0≤s≤1. 因为对任意x∈∂Ω∩KerL及s∈[0,1],我们有xH(x,s)=sx2+(1-s)g(x)x>0,可知H(x,s)是同伦变换,因此

deg{QNx,Ω∩KerL,0}=deg{-g(x),Ω∩KerL,0}=
deg{-x,Ω∩KerL,0}=deg{-x,Ω∩R,0}≠0.

根据重合度理论可知,方程(1)至少存在一个2π周期解.

注 当h(x(t))≡1时,本文的定理1即是文献[9]中的定理1. 因此本文的定理1推广了文献[9]的结果.

推论1 假设存在常数r1≥0,r2>0,a>0,H>0,K>0和D1>0,使得

[B3]xg(x)>0, 当|x|>D1时;

则当4π[Hr1+(2π+1)r2]<1时,方程(1)至少存在一个2π周期解.

证明 与定理1的条件比较可知,我们只须证明存在常数D>0,使得

(16)

由此存在常数D2>D1,使得

(17)

由此存在常数D3>D1,使得

即

(18)

取D=max{D2,D3},则由(17)和(18)式得(16)式成立.

根据定理1,类似推论1的证明,立即可得如下推论.

推论2 假设存在常数r1≥0,r2>0,a>0,H>0,K>0和D1>0,使得

[C3]xg(x)>0, 当|x|>D1时;

则当4π[Hr1+(2π+1)r2]<1时,方程(1)至少存在一个2π周期解.

类似定理1的证明,可得如下定理.

定理2 如果存在常数r1≥0,r2≥0,a>0,H>0,K>0和D>0,使得

[A2]′ 0

则当4π[Hr1+(2π+1)r2]<1时,方程(1)至少存在一个2π周期解.

由此定理,我们还可得到类似推论1和推论2的结论,这里不再赘述.

例：考虑下列方程

(19)

其中

p(t)=cost. 因而,我们可选取

使得条件

[B3]xg(x)>0, 当|x|>D1时;