半圆形断面临界水深的求解公式

朱科霖

(西北农林科技大学 水利与建筑工程学院,陕西 杨凌 712100)

半圆形过水断面常在一些引水工程中应用,其临界水深的计算多都直接应用圆形断面的计算公式,而现有的圆形断面计算公式形式都比较复杂[1～7],精度也不高,在工程中不便于应用。文献[8]是一套可直接应用,而且精度较高的计算公式。本文通过引进一个无量纲水深参数,对半圆形断面临界水深的方程做适当变换处理,以期得到一个公式形式十分简捷、计算精度非常高的计算公式以满足工程需要。

1 半圆形断面临界水深方程

半圆形过水断面如图1所示。

图1 半圆形涵洞输水断面

临界流的基本方程[8]为

半圆形断面的水力要素:

式中:α为流速分布不均匀系数;Q为涵洞输水流量(m3/s);g为重力加速度,一般取9.81 m/s2;Ak为涵洞发生临界流时的断面面积(m2);Bk为涵洞发生临界流时的水面宽度(m);hk为临界水深(m);r为半圆形断面半径(m);θ为发生临界流时的圆心角(rad)。

将式(3)、(4)代入式(1)中,得半圆形断面临界水深的基本方程为

2 半圆形涵洞断面临界水深公式

对半圆形断面临界水深的基本方程式(5)的右边设

式中:p为无量纲参数;λ为半圆形断面无量纲临界水深。

无量纲参数λ的取值范围确定,从半圆形断面的几何图形可以看出,λ最小值为0,最大值为 r,考虑到当λ很小时,即λ＜0.01时,在工程中计算临界水深的实际意义不大,因此λ的取值范围可取为λ∈[0.01,1.0]范围内,在该范围内,通过对p～λ值进行回归分析,得出λ与p之间存在有如下函数关系式,即

将式(8)代入(7)得到圆形断面临界水深的近似计算公式

3 公式误差分析

前文中已经提到,λ取值一般小于1.0,当λ＞1.0时,出现满流或有压流现象,当λ＜0.01时计算临界水深已没有实际意义,因此在有效的范围内,即λ∈[0.01,1.0]范围内对公式进行误差计算,其结果见表1。

表1 半圆形断面临界水深误差

从表1可以看出,在有效范围内,半圆形涵洞断面临界水深的最大相对误差小于0.76%。

4 应用举例

例1:某引水工程隧洞为半圆形断面,设计流量为600 m3/s,初设半径为8 m,试计算该涵洞的临界水深。

本例精确解是6.93152616 m,误差为-0.007%。

例2:某引水式电站输水隧洞为半圆形断面,半径为5m,试计算当通过流量0.5 m3/s时洞内的临界水深。

本例精确解是0.2158046m,误差为0.094%。

从两个例题的计算过程可以看出,精度都满足工程要求,而且精度很高。

5 结 语

用本文公式求解半圆形断面的临界水深,过程是非常简单,而且计算精度非常高,在计算较小流量的临界水深时精度也是很高的。

[1]孙建,李 宇.圆形和U形断面明渠临界水深的直接计算公式[J].陕西水力发电,1996,12(3):39-42.

[2]张文卓.圆形断面临界水深计算[J].四川水力发电,2002,21(1):15-17.

[3]吕宏兴,把多铎,宋松柏.无压流圆形断面水力计算的迭代法[J].长江科学院院报,2003,20(5):15-17.

[4]王正中,陈涛,万 斌,等.圆形断面临界水深的新近似计算公式[J].长江科学院院报,2004,21(2):15-17.

[5]文辉,李风玲,彭 波等.圆管明渠临界水深的直接近似计算公式[J].人民黄河,2007,29(4):67-68.

[6]赵延风,宋松柏,李宇.圆形断面临界水深的近似计算公式[J].水利水电科技进展,2008,28(2):62-64.

[7]赵延风,何晓军,祝晗英,等.无压流圆形断面临界水深的新近似计算公式[J].人民长江,2009,40(11):76-77.

[8]吴持恭.水力学[M].北京:高等教育出版社,1979.