全程S曲线加减速控制的自适应分段NURBS曲线插补算法

潘海鸿 杨 微 陈 琳 谭华卿 孙红涛

广西大学,南宁,530004

0 引言

为克服传统方式加工时复杂曲线、曲面需离散为直线、圆弧的种种弊端[1],现代数控系统开始应用参数曲线插补。参数曲线插补可直接将曲线信息传输到CNC中,而不必将其分解成微小线段,因此使CAD/CAM和CNC之间的信息传递连续。目前常用的参数曲线插补是NURBS曲线插补[2-9]。

NURBS曲线插补算法很多,其中控制进给速度算法在现代插补中最为常用。Yang等[2]为改善对进给速度的控制,以二阶泰勒展开式设计插补器,但没有考虑误差控制。为提高加工精度,Yeh等[3]提出限定弦高误差的自适应插补算法,然而该算法没有考虑机床加减速能力对进给速度的影响。为改善加减速控制,杜道山等[4]提出实时前瞻自适应插补算法,该算法能按照插补精度和机床加减速能力调整进给速度,但忽略了加减速突变对机床产生的冲击。为减小加减速突变对机床产生的冲击,赵巍等[5]、姬俊锋等[6]在插补开始和结束阶段采用S曲线加减速度控制方法,有效减小了机床启动和停止时产生的冲击。李思益等[7]提出采用分段三角函数曲线来实现对机床运动的平滑控制以避免加加速度阶跃的产生。上述文献都没有考虑插补全过程中的加减速插补处理。李建刚等[8]采用直线加减速度控制方法对插补速度进行规划,满足机床加减速能力要求,但没有考虑加减速突变引起的加加速度超出机床能力对加工精度的影响。Lin等[9]采用5段式S曲线加减速控制方法对插补全程进行加减速插补处理,虽达到加减速度控制要求,但仅适用于不需要匀加速段就能达到最大进给速度的情况。

针对上述问题,笔者基于7段式S曲线加减速控制策略[10],提出一种对NURBS曲线插补全过程进行加减速处理的自适应分段插补算法,以实现高速度、高精度要求下对插补精度、进给速度、加速度及加加速度的全面控制。

1 NURBS曲线自适应速度调整

在零件加工过程中,进给速度是影响加工质量的关键因素,只有保证进给速度稳定,才能保证加工零件表面质量。

为改善对进给速度的控制,参数曲线变量的计算式可通过二阶泰勒展开变换近似得到[2](二维曲线)：

式中,T为插补周期;v为插补进给速度。

进给速度

式中,vF为机床进给速度指令值;ER为限定弦高误差;ρi为曲线曲率。

Yeh等[3]提出自适应插补算法,一方面尽量保持进给速度的稳定,另一方面在弦高误差超过规定精度范围时自动调整进给速度,调整规则如式(2)。由式(2)可知,进给速度v(ui)随限定弦高误差E R和曲线曲率半径ρi的变化自适应地调整。

2 7段式S曲线加减速规划

自适应速度调整能得到满足精度要求的速度,但在曲线曲率半径很小的区域,速度改变可能超出机床的加减速能力,对机床产生冲击。

为调整小曲率半径区域曲线进给速度,在曲线曲率尖角处将曲线分段,采用S曲线加减速控制方法重新规划进给速度。图1所示为NURBS曲线插补轨迹。

图1 NURBS曲线插补轨迹

2.1 加减速区域分析与分段预处理

要将曲线分段,需对经自适应算法得到的各项数据进行分析,找出分段点：分段后按照S曲线速度规划要求对各曲线段进行预处理。具体步骤如下：

(1)以参数ui计算得当前插补点P(ui)坐标、曲率ki及曲率半径ρi;将ρi代入式(2)计算得符合曲线轨迹精度要求的进给速度v(ui);将以上获得的相关参数代入式(1)计算得到下一插补点参数ui+1。

(2)根据允许最大弦高误差ER、插补周期T和进给速度v F,找出需要加减速处理的曲率极大值点位置。由式(2)可知,当以 vF=为自适应速度调整临界条件时,由该条件可推导出速度开始发生较大变化处的曲率为

由步骤(1)得到整条曲线曲率k i,在ki≥krg范围内找出各极大值点。如图2所示,kA、kB、kC、kD 为符合式(3)要求的各曲率极大值。

图2 NURBS曲线自适应插补算法曲率和进给速度

(3)在曲率极大值点处将曲线分段。如图1所示,A、B、C、D分别对应图2中各曲率极大值点,将曲线分为5段。计算出各段中速度最大值v max、初始速度v st、结束速度v end、各段轨迹长度 L seg和各曲率极值点对应参数u值。

2.2 分段曲线速度规划

S曲线加减速控制可实现加减速过程中加速度连续变化,有效减小冲击和振荡。图3所示为S曲线加减速过程,整个过程由加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速及减减速7段组成[6]。

图3 S曲线加减速过程[6]

其加加速与减加速的时间相同,加减速与减减速的时间相同(t1=t3,t5=t7),可得位移公式：

式中,si为起始点到各阶段点位移,i=1,2,…,6;ti为图3中7段加减速各阶段持续时间,i=1,2,…,7,其中t1=t3、t5=t7;vi为各阶段起始速度,i=1,2,…,6;amax为最大加速度;jmax为最大加加速度。

对2.1节步骤(3)得到的不同曲线段参数,如曲线段速度最大值vmax、初始速度vst和结束速度v end,进一步分析判断其速度曲线类型是属于加速,还是减速,或包含加速和减速,再采用S曲线加减速方法对其重新进行插补进给速度规划,由此得到图4所示的17种S曲线加减速类型。重新规划插补进给速度的过程主要包括以下两个步骤：

(1)根据各曲线段长度 L seg、起点速度 v st、终点速度v end、速度最大值v max判断当前曲线段的加减速类型。下面以图4b～图4e类型为例说明加减速类型判断过程。将曲线段起始速度v st、最大加速度a max及最大加加速度j max代入位移计算式(4)中,得到位移长度的表达式：

加速过程中无匀加速段,加速过程中的时间分别为

由式(7)计算得到t1、t2和t3,代入式(5)计算出S的理论值S1。比较L seg与S1大小,当L seg＞S1时为图4c类型;当 Lseg≤S1时为图4b类型。

由式(8)计算得到t1、t2和t3,并代入式(5)计算出S的理论值S1,同时,将不包含匀加速段的临界条件t1=t3=a max/j max及t2=0代入式(5),计算出不包含匀加速段的轨迹理论长度极值S2。比较L seg与S1、S2的大小,当L seg＞S1时为图4e类型;当S2＜L seg≤S1时,为图4d类型;当Lseg≤S2时为图4b中类型。

同理,利用式(4)、式(6)、式(7)、式(8)可以得到包含匀加速段、匀速段及匀减速段中任意一段或多段情况下轨迹长度的极值,并与L seg比较可以判断出各曲线段与图4中对应的17种加减速类型。

图4 不同曲线段参数条件下的17种S曲线加减速类型

(2)判断出当前段加减速类型后,应用式(4)对时间t求一阶和二阶导数,分别得到速度及加速度方程,进而可求出加速、匀速及减速各部分时间。

以图4j类型为例,根据式(4)计算各部分需要时间,经化简得：

由式(9)得

将式(9)、式(11)代入式(10)得

求解式(12)可计算得到t1,将t1代入式(11)计算得到t5。同理,可推导出其他各种加减速类型的各部分运行时间 t1、t2、t3、t4、t5、t6和 t7,完成 S 曲线加减速规划。各NURBS曲线段按照重新规划好的S曲线加减速方案完成曲线插补。

3 插补仿真结果与分析

以图1所示3次NURBS曲线为例,曲线特征和各项插补参数分别为：控制顶点：d=[0 0-200-200-200 200 0 0 200-200 200 200 0 0];权重因子：ω=[1 2.5 2.5 1 2.5 2.5 1];节点矢量：U=[0 0 0 0 0.25 0.50 0.75 1 1 1 1];最大进给速度;插补周期T=1ms;允许最大弦高误差ER=0.5μm;允许最大加速度a max=6m/s2;允许最大加加速度 j max=70m/s3。

使用MATLAB软件,在相同的固定插补周期下,分别仿真单独自适应插补算法、5段式S曲线加减速分段规划及7段式S曲线加减速分段规划3种算法的插补加工过程。各种方法插补全过程步数及相应插补时间如表1所示。

表1 3种插补方法总插补步数及相应插补时间

由图5可见,3种插补算法在曲线曲率尖角A、B、C、D 处都达到E R=0.5μm精度要求。5段式S曲线加减速分段处理后的弦高误差曲线与7段式S曲线加减速分段处理后的弦高误差曲线几乎重合,在局部地方,5段式S曲线加减速算法的精度略微高于7段式S曲线的加减速精度。而单独自适应插补算法得到的弦高误差虽保持在0.5μm以内,但在A、B、C、D之外区域都大于另外两种算法获得的弦高误差,表明该方法的加工精度比S曲线加减速分段控制算法的精度低。

图5 弦高误差轮廓曲线

由图6可见,单独自适应插补算法获得的进给速度在整段曲线50%区域内都达到1000mm/s,全程平均速度约为747mm/s。由于受分段后各曲线段长度、起始速度、结束速度、最大加速度和最大加加速度影响,5段式S曲线分段处理后达不到给定的最大速度值,最高速度为800mm/s,插补全程平均速度约为488mm/s;7段式S曲线分段处理后在曲线BC段能达到1000mm/s,插补全程平均速度为594mm/s,比5段式S曲线加减速处理后平均速度提高21.7%。对照图5可知,在弦高误差相近情况下,采用7段式S曲线分段处理后的加工效率更高。

从图7可知单独自适应算法中加速度达到±17m/s2。5段式S曲线加减速分段处理和7段式S曲线加减速分段处理后的加速度均控制在±6m/s2以内,比单独自适应算法中加速度减小64%,从而满足了机床的加减速要求。对照图6中速度曲线可知,5段式S曲线加减速分段处理后的加速度曲线不包含匀加速段,而7段式S曲线加减速分段处理后的加速度曲线中包含匀加速段,可使进给速度在匀加速时间段内以最大加速度为变化率持续升高,因而前者速度只能达到800mm/s,而后者可达到1000mm/s。

图6 进给速度曲线

图7 加速度曲线

图8a中自适应插补算法加加速度在2000m/s3至-16000m/s3范围内波动,超出允许最大加加速度±70m/s3要求。图8b、图8c中5段式S曲线加减速分段处理和7段式S曲线加减速分段处理后的加加速度都控制在最大加加速度±70m/s3内。

图8 加加速度曲线

由以上分析可知以插补精度、加速度及加加速度为限制条件时,虽然单独自适应插补算法插补总步数较少,且插补总时间较短,但其最大加速度和加加速度超过限制条件。采用7段式S曲线加减速算法明显比5段式S曲线加减速算法所需插补总步数要少,且时间要短,所需插补时间为5段式S曲线分段处理后插补时间的82.06%,对比可知插补效率更高。

4 实验与结果

为进一步验证该算法在工程中的可行性,以图9两轴联动平台进行实验。该平台的DSP+FPGA数控系统硬件及软件均为自行设计开发。

图9 两轴联动平台

采用C语言编译方式,将全程S曲线加减速控制的自适应分段NURBS曲线插补算法集成到自行开发的控制系统中,并采用绘图方式成功绘制出图1所示形状曲线,绘制结果如图10所示。

图10 实际绘制图形

5 结束语

基于7段式S曲线全程加减速控制的自适应NURBS曲线分段插补算法,通过分析速度、加速度、加加速度及分段曲线长度之间的关系,自适应地调整加速、匀速及减速各变化阶段的时间;另外,不需要单独预测减速点位置,从而解决了减速点预测困难的问题;分析结果表明：该算法在满足插补精度要求和固定插补周期情况下,可保证插补全过程中加速度连续、加加速度恒定,且在允许范围内其插补精度比单独自适应插补精度更高,插补速度比5段式S曲线加减速规划方法更快。绘图实例进一步证实该插补算法的正确性和在实际工程运用中的可行性。该算法已成功应用于自主开发的数控系统中。

[1] Shpitalni M,Koren Y,Lo C C.Real—time Curve Interpo-lators[J].Computer-aided Design,1994,26(11)：832-838.

[2] Yang D C H,Kong T.Parametric Interpolator Versus Linear Interpolator for Precision Surface Machining[J].Computer-aided Design,1994,26(3)：225-234.

[3] Yeh S,Hsu P.Adaptive Feedrate Interpolation for Parame-tric Curves with a Confined Chord Error[J].Computer-aided Design,2002,34(3)：229-237.

[4] 杜道山,燕存良,李从心.一种实时前瞻的自适应NURBS插补算法[J].上海交通大学学报,2006,40(5)：843-847.

[5] 赵巍,王太勇,万淑敏.基于NURBS曲线的加减速控制方法研究[J].中国机械工程,2006,17(1)：1-3.

[6] 姬俊锋,周来水,张得礼.NURBS曲线插补过程中运动平滑处理[J].中国机械工程,2006,17(21)：2225-2229.

[7] 李思益,罗为.NURBS曲线高速高精度插补及加减速控制方法研究[J].计算机集成制造系统,2008,14(6)：1142-1147.

[8] 李建刚,张婷华,李泽湘,等.一种完善的自适应NURBS曲线插补算法[J].中国机械工程,2008,19(9)：1095-1098,1102.

[9] Lin M T,Tsai M S,Yau H T.Development of a Dynamics-based NURBS Interpolator with Real-time Look-ahead algorithm[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture.2007,47：2246-2262.

[10] 潘海鸿,李小清,严思杰,等.步进扫描光刻机硅片台连续扫描时间优化算法[J].机械工程学报,2008,44(10)：154-161.