高中生力矩概念理解与应用的常见错误分析及对教学的启示

晏荣玲 郭长江

(上海师范大学数理学院,上海 200434)

1 引言

力矩概念是一个重要的物理概念.教学中发现,学生对力矩概念的理解往往不全面、不深入、甚至错误,以致在应用力矩解决问题中出现各种错误.由此出现很多关于力矩概念教学的研究,有的研究提出帮助学生建立转动刚体模型[1],为学生学习大学物理做好衔接工作;有的研究提倡关注力矩概念形成过程[2],重视力矩概念的某些关键特征的教学方法[3].这些研究均从教师的角度考虑力矩概念教材的处理方法和教学设计.本研究主要立足学生,通过收集、整理、分类高中生力矩作业中的错误,深入学生中进行访谈交流,对学生的错误及产生的原因进行全面的、深入的了解和研究,试图阐明学生力矩概念的学习应用中会出现什么类型的错误?这些错误产生的原因是什么?对力矩概念教学有怎样的启示?

2 高中学生力矩概念理解应用错误及其分析

2.1 不能全面理解“力矩的四要素”的意义,忽视力的作用点的重要性

笔者将力矩中涉及的转轴、力的作用点、力的大小、力的方向这四个因素定义为“力矩的四要素”.“力矩的四要素”一旦确定,力矩的方向、力臂大小、力矩大小就确定.

图1

例1.如图1所示,重为G的圆盘与轻杆一端固定相连且相切,支于杆上的O点,用力F竖直向下拉杆的另一端,使该端缓慢向下转动,则杆转到竖直之前,拉力F及其力矩M的变化是

(A)M变小,F不变.

(B)M、F均变小.

(C)M先变大再变小,F始终变大.

(D)M变小,F变大.

学生错选(A),正确答案为(C)选项.

在做此题时,很多学生将重力直接画在图上,图2和图3是学生作业上常见的两种图示.画图3的学生好像注意到重力作用点,但仍然错选了(A).

图2

图3

学生错解过程为:杆转过一个角度θ后(如图4所示),M=FL1cosθ=GL2cosθ,FL1=GL2.所以θ增大,M减小,F不变.

图4

(1)学生错误分析

从学生的受力图和错解看,他们没有意识到重力的作用点到底在哪里,导致重力力臂错误.在与学生的交流中发现,学生对教师强调力的作用点不是太理解.

造成这种错误的一个原因是学生受共点力知识的影响.学生学习共点力平衡时,物体要么可以看做一个质点,要么受到的各力的作用线相交于一点,学生把各个力都画在一个点上,养成了很少考虑各个力的作用点在哪里的习惯,力的作用点几乎失去意义,一些学生甚至产生“力的作用点有什么用处?”的疑问.在学习力矩、找力臂时,其负面影响立刻显现:对学生而言,图2和图3示的重力作用没有区别,整个装置转动θ角,他们认为重力力臂为L2cosθ(如图4).

考虑到重力的作用点为A(如图5),转轴O与重力作用点A连线为OA=L0,该连线与水平方向成а角度,а角是固定不变的,装个装置转动θ角度后(如图6),重力的力臂为L0cos(θ-α).

图5

图6

(2)对教学的启示

由于共点力、力矩两部分知识都与力有关,联系紧密,若教学和学习中不注意类比和辨析,学生会认为力矩概念与力概念是一样的或差不多.教学中要为学生提供多种实例,帮助学生认识到力的作用点的意义,全面理解“力矩的四要素”.

2.2 不能建立“力的杠杆”模型,不能正确判断力矩方向,不能正确分解力

力与转轴和力作用点连线构成“力的杠杆”模型.其中转轴和力作用点连线很重要,由于力矩为零的力,其作用线必在转轴和作用点连线上,所以该连线有两个重要作用:①此连线是建立“力的杠杆”模型的关键,是判断力矩方向的分界线.如图7中F对转轴O1、O2的转动作用可以简化为图7右边两个“杠杆模型”,从而一目了然地判断F对转轴O1、O2的力矩方向.②该连线确定了力矩中正交分解力的两个方向.与力平衡中力分解原则不同,力矩问题中一般把力沿转轴、力作用点连线和垂直该连线方向分解,如图8所示.分力Fx沿连线力矩为零,分力Fy力矩大小和方向就是力F2力矩大小和方向,MF=MFy.

图7

图8

例2.如图9所示,T字形架子ABO可绕过O点且垂直于纸面的转动轴自由转动.现在其A端与B端分别施以图示方向的力F1和F2,则关于F1和F2的力矩M1和M2,下列说法中正确的是

(A)都是顺时针的.

(B)都是逆时针的.

(C)M1是顺时针的,M2是逆时针的.

(D)M1是逆时针的,M2是顺时针的.

图9

学生错选(D),正确答案为(B)选项.

(1)学生错误分析

通过和一些学生交流发现,学生解题方式分两类:

第1类学生不分解力,他们呈现的图如图10所示.当询问学生有无注意转轴在哪里时,他们表示不明白转轴位置与判断力矩方向有什么关系;当要求他们画出转轴时,他们认为轴在直杆AB的中点O′处,他们是以水平横杆正中点为轴的.当问及原因时,他们说初中的杠杆都是这样的.

图10

图11

第2类是物理基础较好的学生,他们采用分解力的方法讨论问题,把F1和F2沿水平和竖直方向分解(如图11).这些学生认为F1y使架子逆时针转动,所以M1是逆时针的,F2y使架子顺时针转动,所以M2是顺时针的.当问他们F1x和F2x的力矩为什么不考虑,他们说F1x和F2x的力矩为零.我们知道,若F1x和F2x的力矩为零,则转轴必然在直杆AB上.说明在这类学生的潜意识中转轴还是在直杆AB上的某点.

可见,不论是哪类型的学生,他们共同的错误原因都是认为转轴在直杆AB上.

为什么会出现这种情况?

一方面是学生旧知识对新知识的学习产生了负面影响.

图12

首先是学生受初中学习的力矩杠杆模型的影响,这种杠杆(如图12)是最简单最基本的力矩模型.在这种模型中,转轴及其与力作用点连线一定都在直杆上,学生在初中学会解决这类杠杆问题,却也留下了副作用,他们习惯了转轴在直杆上,也不必要关注转轴与力作用点连线,使得学生养成一种错误的定势思维,不理解转轴与力作用点连线的重要性,更不要说建立“力的杠杆”模型.

其次是力平衡中力正交分解习惯的影响,在力矩问题中,力的分解方向一般是沿转轴、力作用点连线和垂直该连线方向分解.当然学生按照图11所示方向分解力也是可以的,但是当学生被提示转轴不在直杆上、F1x和F2x对转轴O也有力臂后,他们又为难:“F1x和F2x的力矩大小好像不能明确”,还是不能确定F1和F2的力矩方向.

另一方面是没有建立“力的杠杆”模型的意识和能力.

图13

在访谈中,没有一个学生用转轴、力作用点连线画“力的杠杆”模型,以使问题简化,说明学生建立“力的杠杆”模型的意识和能力非常薄弱,应该引起教学者的重视.使用转轴和力作用点连线,例2的杠杆简化成如图13所示的“力的杠杆”模型.从这个模型判断F1、F2力矩方向一目了然,F1、F2都使物体绕轴逆时针方向转动.

(2)对教学的启示

物理模型是对复杂物理过程中物理本质要素的反映,能够使我们处理物理问题时抓住主要的、本质的方面,对问题进行科学的简化和细化.力矩中“力的杠杆”模型的建立应该立足力矩概念本身,体现“力矩的四要素”,帮助学生明白这些模型建立的过程和目的.建立力矩“力的杠杆”模型过程是学生分析解决力矩问题的重要组成部分和基本方法,是学生进一步理解力矩概念必不可少的步骤.

2.3 不能正确选择研究对象,乱用整体法,使物体受到的一些力矩消失

当同时有多个物体时,学生会乱用整体法,认为整体法就是多个物体一起打包、物体之间力变为内力,不考虑在转动问题中,平动物体和转动物体不可以当作一个整体,而一起转动的、相对静止的物体可以当作整体.

例3.如图14所示,光滑斜面的底端a与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接,平板长为2L,L=1m,其中心C固定在高为R的竖直支架上,R=1m.支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接,因此平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转.在斜面上离平板高度为h0处放置一滑块A,使其由静止滑下,滑块与平板间的摩擦因数μ=0.2.为使平板不翻转,h0最大为多少?(答案为h0≤0.16m)

图14

图15

学生错解:以滑块和平板为整体,受力如图15,滑块的重力G1力矩与平板左端受到的支持力N力矩平衡,支架恰好翻时,N=0,合力矩仍要为零,所以滑块必定刚好滑到平板中点C,G1力矩也为零,滑块在平板上滑行s=1m,解得h0=0.2m,即h0≤0.2m.

(1)学生错误分析

这种错解在学生中较普遍,当进一步问他们为什么不考虑滑块与平板之间弹力和摩擦力力矩时,他们有的回答“内力,不考虑”,有的说“是作用力与反作用力,力臂相同,力矩方向相反,力矩抵消,不考虑”.

从与学生交流反馈的信息看,产生错误的原因是学生生搬硬套了力平衡和平动问题中的整体法.

图16

由于滑块与支架的运动状态不同,只能分别以滑块和支架为研究对象,进行两次受力分析.滑块运动是平动,没有对任何转轴的转动,其受到的支持力和摩擦力何谈力矩?支架受到的滑块施加的压力和摩擦力的力矩根本“无人”抵消.而且两对作用力与反作用力对改变各自作用物体的运动状态的意义是不同的,滑块受到的支持力、摩擦力和重力G1一起决定滑块平动的加速度,支架受到的压力N1和摩擦力f1力矩决定支架转动的角加速度.学生显然不明确力矩问题中使用整体法的原则,没有理解力矩改变的是物体的转动状态的物理意义.

恰要翻的支架受到的力矩是滑块对平板摩擦力f1的力矩和滑块对平板压力N1的力矩,如图16.错误的整体法使得f1力矩莫名消失.

(2)对教学的启示

整体法会使问题简化,但是如果不明白整体法的使用规则,学生就会选错受力者、遗漏重要的力矩作用,产生错误.平动问题和转动问题中整体法的应用并不一样,必须帮助学生理解二者之间的不同,否则只能引起错误.

综上,学生头脑中相关旧知识的负迁移作用无处不在,如果教学中不注意创设情景、帮助学生全面认识“力矩的四个要素”,没有引导学生区别和比较力、力矩的不同,没有教给学生建立力杠杆模型的方法,学生必然不能真正理解力矩概念的本质属性,在应用中容易出现各种错误.

3 总结

(1)学生对力矩概念的理解和应用错误类型、错误产生的原因.①不能全面理解“力矩的四要素”的物理意义,受共点力的影响,忽视力的作用点的意义;②不能建立力对转轴的“力的杠杆”模型,受到初中简单杠杆模型下形成的定势思维的影响和力的正交分解法的惯性思维影响,缺乏建模能力.③不能正确选择研究对象,乱用整体法,使物体受到的一些力矩消失.

(2)教学建议.①提供多种实例,引导学生分析四个要素对力矩的物理意义,区别力、力矩概念;②引导学生理解转轴与作用点的连线物理意义,帮助学生使用该连线建立“力的杠杆”模型.③在强调力矩的物理意义前提下,帮助学生理解力矩问题中使用整体法的原则,并区分力平衡和平动问题中的整体法.

1 颜振珏.力矩在刚体平衡中的作用.黔南民族师范学院学报,2004(3).

2 郑青岳.力矩教学课例.中学物理教学参考,1999(1).

3 张亚林.力矩教学剖析.技术物理教学.2004,12(3).