错落式黄土滑坡运动学模型

章健 杜斌 李小豹

黄土滑坡是对人类经济生产活动造成重大损失的一种地质灾害。为了便于对黄土滑坡滑距预测进行分析，需要按运动特征进行分类。李同录等[1]按黄土滑坡的运动特征将黄土滑坡分为三类，即高速远程滑坡、滑坡泥流和错落式滑坡。本文以卧虎山滑坡为例对错落式黄土滑坡进行运动学模型分析，以达到预测此类黄土滑坡滑距的目的。

1 错落式滑坡特征

错落式滑坡一般发生在被厚层黄土覆盖的高阶地上。在上部黄土和下部基岩之间多有1 m～2 m厚的砂砾层分布，古河床阶地形成于黄土堆积层之前。从现代河床到斜坡顶部通常发育有二级阶地和三级阶地。在绝大多数情况下，斜坡坡脚处的基岩在河流的侵蚀侧露出地表。滑坡通常在底部沿着阶地基岩表面、在滑体后部切割黄土层而向下滑。

这类典型事例有位于延安市南部的卧虎山滑坡(见图1)[2]。该滑坡是一老滑坡，从滑坡后背黄土陡壁痕迹判断，历史上至少经历两次下错运动，断续下滑达30 m。1997年7月的一场暴雨，滑坡下滑了20多米后停止。在坡脚底部，砂岩断断续续出露，局部形成陡壁，在陡壁与河流之间是一级阶地。滑坡体坐落在河流二级～三级阶地上。因台阶上部雨水的渗入和聚集导致黄土滑坡沿阶地上表面滑移。

这类滑坡大部分分布在黄土覆盖很厚，河流下切较深的黄土高原北部地区，此类黄土滑坡体错落距离不远就停止下来了。它们往往因降雨诱发，在有利条件情况下，可多次发生错动。

2 错落式滑坡运动学模型

2.1 错落式滑坡运动方式、方向和轨迹

选取卧虎山滑坡滑体剖面上不同部位的块体，通过离散元程序计算并对块体运动轨迹进行跟踪，得出错落式滑坡(块体)运动过程轨迹如图2所示。

错落式滑坡的运动方向及轨迹比较简单，由滑体的重力及滑面控制。方向为滑体重力沿平行于滑面的方向，轨迹也是与滑面平行的。根据图2错落式滑坡(块体)运动轨迹跟踪图，可以将运动轨迹简化为圆弧，圆心为点(a，b)。

建立直角坐标系如图3所示，假定滑坡以“质点”从O点以任意途径到达 O1点，且 c≤a，则可建立其圆弧方程:

2.2 错落式滑坡运动学模型

利用能量守恒建立错落式滑坡运动学模型，如图3所示，考虑错落式滑坡运动特征，滑体在运动过程中整体性较好，只在前缘会出现较小的离散现象，将滑体简化为一个块体。错落式滑坡运动学模型即为一个在光滑圆弧上的运动块体模型。

假设此段滑体重心沿滑动面运动轨迹的圆弧方程为y(x)，半径为r，滑体视为正方体的块体。滑体的剖面为不规则图形，重心位置的确定可采用以下方法:利用CAD程序将滑体范围的闭合线条定义为面域，再用massprop命令确定该面域的重心位置。未滑动前滑体静止时的坐标为 O(0，0)，t时刻后滑体运动停止的位置坐标为O1(x1，y1)。滑体垂直位移 H=y1，水平位移及滑距 L=x1。滑块在任意时刻受力情况如图4所示。此位置的斜率为 k=y′(x)=tanθ，重力为 W，垂直斜坡方向的压力为N。滑距计算公式如下:

在图4中块体受摩擦力:

其中，φ为综合内摩擦角。

对于任意位置 Oi(xi，yi)的速度 vi，根据能量守恒:

根据式(4)即可求得任意位置的速度 vi。

对于求滑坡的滑距也可以根据能量守恒由以下公式得出:

将式(3)代入式(5)并简化:

在式(7)中S和H都是关于x的函数:

且圆弧的方程y(x)为:

其中，φ为滑坡综合内摩擦角，式(7)～式(9)联解，则可求得式(9)中 x1的解值，即为滑距 L=x1。

可继续进行简化，设弦长与圆弧长比值n=l/S，l为O—O1的弦长，且滑面在第一象限内且0≤x≤a，则圆弧长与弦长比值取值范围为0.9≤n≤1。在黄土错落式滑坡中滑面的圆弧线较缓且弧度变化较小，所以 n的值可以近似取1，即取 n=l/S。则式(7)可简化为:

将式(11)代入式(9)可得:

当x1=0时即为滑块静止时的位置，所以滑块静止位置的坐标为:

则滑距:

再通过几何法对错落式滑坡滑距进行求解(如图5所示)。在图5中，圆心坐标为(a，b)，半径为 r。滑坡的滑面所在的圆弧方程为:以式(11)在图5上作一条直线。斜率k=tanφ，相交点 O和O2。则 O2的横坐标值 x1即为滑距 L。

综上所述，错落式滑坡通过几何求解时，以滑体重心静止时的位置为原点建立如图5所示的坐标系，作滑面所在圆和以综合内摩擦角正切值tanφ为斜率的直线，则除原点之外的相交点即为滑体重心运动后静止时的位置，其横坐标值就是滑体重心水平位移，即为滑距。

对卧虎山滑坡滑距进行计算，利用CAD的massprop命令寻找滑体的重心位置，并以此点为原点建立如图5所示的坐标系。根据对卧虎山滑坡实测资料可知:滑坡体重心所在圆弧的半径为277.3 m，圆心坐标为(145.5，-236)，则 a=145.5，b=-236。

因缺少该滑坡的残余强度指标，所以采用离散元程序依据实测滑距对卧虎山滑坡的综合内摩擦角进行反算，不断调整计算参数直到滑坡体运动后静止位置与实际滑体位置耦合(如图6所示)。可知反算出的综合内摩擦角 φ=18.5，滑体静止时的位置即为与水平方向夹角18.5°的直线与圆弧除原点的交点，测量交点横坐标可得滑距为126 m。同样可以根据式(12)计算滑坡的滑距。

卧虎山滑坡实测滑距为85.5 m，比运动学模型计算出的126 m要小。考虑到计算时将滑坡体简化为一块体，并且这个滑体整体性较好，将运动学模型计算时滑块重心在水平位置的位移视为滑距。本文定义的滑距为滑坡前缘运动的水平距离，与滑体重心的水平位移有较小范围的不同值。对卧虎山滑坡剖面分析可知，滑坡前缘在运动过程中出现较小程度的离散，使得前缘的水平位移大于滑坡体重心的水平位移，则根据前缘水平位移进行的离散单元程序反算出的综合内摩擦角 φ=18.5。根据此综合内摩擦角反算的滑体重心位置将偏大。

3 结语

1)建立的错落式黄土滑坡运动学模型可以用来计算此类滑坡的滑距，以用于对此类高危滑坡的危险性评价。2)错落式滑坡滑距可采用几何方法求解:以滑体重心静止时的位置为原点建立坐标系，作滑面所在圆和以综合内摩擦角正切值tanφ为斜率的直线，则除原点之外的相交点即为滑体重心运动后静止时的位置，其横坐标值就是滑体重心水平位移即为滑距。

[1] 李同录，龙建辉，李新生.黄土滑坡发育类型及其空间预测方法[J].工程地质学报，2007，15(4):500-505.

[2] 长安大学工程设计院.延安市卧虎山滑坡工程地质勘察报告[R].2006.

[3] 章 健.黄土滑坡运动模式及滑距预测方法研究[M].西安:长安大学硕士论文，2008.

[4] 胡广韬.动力滑坡学[M].西安:陕西科学技术出版社，1988.

[5] 王泳嘉，邢纪波.离散单元法及其在岩土力学中的应用[M].沈阳:东北大学出版社，1991.

[6] 黄润秋，许 强，陶连金.地质灾害过程模拟和过程控制研究[M].北京:科学出版社，2002.

[7] 杜 斌，殷国锋，钱勇峰.浙东某水库工程地质问题初探[J].山西建筑 ，2009 ，35(13):363-364.