相对拓扑中的分离性

曾晓旭

（汕头大学数学系，广东汕头515063）

相对拓扑中的分离性

曾晓旭

（汕头大学数学系，广东汕头515063）

根据X在Y上正则以及Y在X中局部紧的概念，分析了Y在X中超正则所要满足的条件，探讨了X在Y上正则与X在Y上正规的关系.

相对拓扑；X在Y上正则；X在Y上正规；Y在X中仿紧（1仿紧）；Y在X中紧（Lindelo¨f）

0 引言

相对拓扑的概念是Arhangel’skii[1]于1996年提出来的，之后国内外很多学者都对相对拓扑的性质加以更全面的刻画，得到了很多有用的结果.汪贤华等人[2]对相对拓扑性质在完备映射下的像进行了分析.本文在前人研究的基础上分析了超正则的充分条件，并且研究了相对正则与相对正规的联系.

1 相关定义

设Y是X的子空间，在本文中n的取值范围都是指自然数.下面的定义都来自参考文献［1］.

定义1 称Y在X中正则（超正则），如果对任意y∈Y和任意X中不包含y的闭集A，都存在X中不相交的开集U和V，使得y∈U且A∩Y⊂V（A⊂V）.

定义2 称Y在X中强正则，如果对任意x∈X和任意X中不包含x的闭集A，都存在X中不相交的开集U和V，使得x∈U且A∩Y⊂V.

定义3 称Y在X中局部紧，如果对任意y∈Y，存在X的一个紧子集C包含y在X中的一个邻域U.

定义5 称X在Y上正则，是指任意x∈X和任意一个收缩在Y上的闭集A，且x∉A，都存在X中不相交的开集U和V将它们分开.

定义6 若X的任意一个开覆盖α，都存在α的开加细β满足β覆盖Y（X），且β对Y中的点局部有限，则称Y在X中仿紧（1仿紧）.

定义7 称X在Y上正规，是指X的每一对不相交的收缩在Y上的闭集A，B，都存在X的不相交的开集U和V，使得A⊂U且B⊂V.

2 主要定理

定理1X是Hausdorff空间，Y在X中局部紧，则Y在X中超正则.

证明设y和A分别是Y中任意一点和X中任意一个闭集，且y∉A，Y在X中局部紧，则存在X的一个紧子集C包含y在X中的一个邻域U；X是Hausdorff空间，C是紧子集，则C是正则空间.U-A显然是y的一个邻域，于是存在y在C中的邻域V，满足⊂U-A（是V在C中的闭包），U-A是X的开集，则显然V也是X的开集；X是Hausdorff空间，C是紧子集可知C是闭子集，故也是X中的闭子集.这样就存在X中的开集V包含y且∩A=Ø，故V和X-分别就是X中不相交的开集将y和A分开，Y在X中超正则.

定理2X是Hausdorff空间，Y在X中1仿紧，则Y在X中超正则.

证明设y和A分别是Y中任意一点和X中任意一个闭集，且y∉A.X是Hausdorff空间，则对任意a∈A，存在X的不相交开集Ua和Va使a∈Ua和y∈Va，于是{Ua}a∈A和X-A构成X的开覆盖；Y在X中1仿紧，则对这个开覆盖存在开加细β，满足β覆盖X且对Y中的点局部有限；将β中与A相交的记为βA，显然βA是{Ua}a∈A的开加细，故任意B∈βA有y∉，于是y∉，故∪B和X-分别是A和y的不相交的邻域，B∈βA则Y在X中超正则.

定理3Y在X中超正则且Y是Lindelo¨f空间，则Y在X中仿紧.

证明设α是X的任意一个开覆盖，对任意y∈Y，存在A∈α使y∈A，又Y在X中超正则，则存在y的邻域Uy满足⊂A，显然{Uy}y∈Y构成Y的开覆盖；Y是Lindelo¨f空间，则存在可数子族覆盖Y，设为{Un}，由{Uy}y∈Y的构成过程知α中存在可数子族{An}满足⊂Ai.我们利用下面的办法构造一个开集族.令C1=A1，C2=A2-，…，Cn=∈…，显然{Cn}是开集族且是α的加细.下面证明{Cn}覆盖Y.任意yY，{An}覆盖Y，则必定存在最小的N使y∈AN，显然y∉Ai，i=1，…，N-1，而Ui⊂Ai，故∈即yCN，所以{Cn}覆盖Y.

接着证明{Cn}对Y中的点局部有限.任意y∈Y，{Un}覆盖Y，则存在最小的N使y∈UN，由{Cn}的构造知当n≥N+1时，UN∩Cn=Ø.于是{Cn}中与UN相交的元素最多只有N个，即{Cn}对y局部有限.

定理4X是Lindelo¨f空间，X在Y上正则，则X在Y上正规.

证明设A，B分别是X中收缩在Y上的不相交的闭集，X是Lindelo¨f空间，则A，B都是Lindelo¨f空间.X在Y上正则，则任意a∈A存在a的邻域Ua使∩B=Ø，显然{Ua}a∈A是A的开覆盖，则存在可数子族覆盖A，为了方便起见，不妨设为{Un}，对任意同理存在{Vn}覆盖B且任意Vn满足n∩A=Ø.

定理5X是仿紧空间，若X在Y上正则，则X在Y上正规.

证明设A和B分别是X中收缩在Y上的不相交的闭集，X在Y上正则，则任意a∈A存在a的邻域Ua使∩B=Ø，{Ua}a∈A与X-A构成X的开覆盖；X是仿紧空间，则此开覆盖存在局部有限开加细覆盖X，记为λ，将λ中与A相交的子族记为λA，显然λA是{Ua}a∈A的开加细，故任意C∈λA，显然有∩B=Ø；λA是局部有限的，则U和V显然是X的开集且分别包含A和B，故X在Y上正规.

定理6设X是拓扑空间，Y在X中仿紧且Y在X中强正则，则Y在X中正规.

证明设A，B分别是X中任意两个不相交的闭集，对于任意a∈A，Y在X中强正则，则存在X的不相交的开集Ua和V，满足a∈Ua和B∩Y⊂V，于是{Ua}a∈A与X-A构成X的开覆盖；Y在X中仿紧，则此开覆盖存在开加细覆盖Y且对Y中的点局部有限，记为β，而β中覆盖A∩Y的集族显然是{Ua}a∈A的加细，记为λ；任意C∈λ，有∩（B∩Y）=Ø，由于λ相对Y中的点局部有限，则显然有U∩V=Ø且A∩Y⊂U，B∩Y⊂V，故Y在X中正规.

本文系统地描述了Y在X中超正则的充分条件，对X在Y上正则和X在Y上正规进行了研究，较全面地介绍了相对拓扑中的分离性.

[1] Arhangel’skii A V.Relative topological properties and relative topological space [J].Topology Appl，1996（70）：87-99.

[2] 汪贤华，王延庚，卫国.相对拓扑空间的一些性质[J].西北大学学报（自然科学版），2003，33（2）：133-136.

Separation Axioms in Relative Topology

ZENG Xiao-xu
（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063，Guangdong，China）

In this paper，some concepts are introduced as follow：X is regular on Y and Y is locally compact X.The conditions are described that make Y super-regular in X.A preliminary description is studied for thr relation between X is regular on Y and X is normal on Y.

relative topology；regular；paracompact；compact

O 189.11

A

1001-4217（2010）02-0023-04

2009-11-17

曾晓旭（1983-），男，广东揭阳人，硕士研究生.研究方向：拓扑学.E-mail：xxzeng1@stu.edu.cn