变结构控制系统中的混沌现象

杨 侃，熊文君

（1.海军航空工程学院 控制工程系，山东 烟台 264001；2.扬州大学 水利学院，江苏 扬州 225000）

混沌现象出现于非线性系统中，揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。对混沌现象的研究不但在自然科学领域受到人们的极大关注，而且已扩展到人文学科，如经济学、社会科学等领域。涉及混沌的非线性系统的微分方程不可能用解析方法求解，所以混沌概念是与计算机等学科分不开的。自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已被普遍接受，如何应用混沌研究的成果为人类服务已成为非线性科学发展提出的重要课题之一[1]。

变结构控制系统是一种典型的非线性系统。在滑模变结构控制中，满足了滑模的存在性及可达性条件，系统状态是不是一定渐近收敛呢？

1 混沌的定义

混沌科学的发展引起各学科的兴趣，但作为科学术语，混沌没有被普遍认可的定义。从概念上来讲，混沌是指确定性系统中所产生的类似随机的不确定输出，是非线性动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式，它是非线性动力学系统运行过程中的又一定常状态。作为一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又并不完全随机。因此可见，非线性是产生混沌的必要条件，但并非任何非线性系统都会产生混沌，一般认为当系统具有下列数值特征时则发生了混沌[2]：

1）系统的运动轨迹表现为奇怪吸引子现象。

2）系统运动的功率谱具有连续谱上迭加有尖峰的特点。状态 x (t)的功率谱密度 Sx(ω)是它的自相关函数 Rx(τ)的傅里叶变换[3]，

3）系统中至少有一个李雅普诺夫指数大于0。对一个实际的系统，李雅普诺夫指数的计算非常困难，当考虑到外界干扰和系统的结构或参数不完全清楚时，系统的李雅普诺夫指数的求取甚至是不可能的[4]。

2 系统模型的描述及动力学方程的建立

设一单输入二阶定常线性系统的状态空间表达式为：

取切换函数

在切换线（s=0）上有

该系统采用比例切换的控制策略，即

式中：α、β 均为实数。

要同时满足滑模的存在性及可达性条件，应有

3 仿真结果及分析

考察系统2），先看一个系统状态能够渐近收敛到原点的情况。取b=1，c=0.5，α=10，β=−10，a2=2，a1=0.5，初始条件为x1=x2=20。相平面图与功率谱图分别见图1～4。

图1 相平面

图2 相平面的局部放大图

图3 功率谱

图4 功率谱的局部放大图

下面3种情况都出现了混沌现象。

取b=1，c=0.5，α=10，β=−10，a2=2，a1=1.22，初始条件为x1=x2=20。相平面图与功率谱图分别见图5～8。

图5 相平面

图6 相平面的局部放大图

图7 功率谱

图8 功率谱的局部放大图

取b=1，c=0.5，α=10，β=−10，a2=2，a1=−1.2，初始条件为x1=x2=20。相平面图与功率谱图分别见图9～12。

图9 相平面

图10 相平面的局部放大图

图11 功率谱

图12 功率谱的局部放大图

取b=1，c=0.5，α=10，β=−10，a2=2，a1=−3，初始条件为x1=x2=20。相平面图与功率谱图分别如见图13～16。

图13 相平面

图14 相平面的局部放大图

图15 功率谱

图16 功率谱的局部放大图

以上3种情况都满足滑模的存在性及可达性条件，但由于出现混沌，相轨迹最终都没到达原点。

4 结论

在实际的变结构控制系统中，满足滑模的存在性及可达性条件并不能保证系统状态渐近收敛到原点，因为系统可能存在混沌现象。混沌对系统的稳定性和收敛性会造成有害的影响。

[1]潘洪明.复摆振动中的混沌现象[J].物理实验,2006,26(9):10-13.

[2]杨亮.DC-DC 开关变换器混沌现象的研究[D].天津:天津大学,2003.

[3]WU YUN-JIE,LIU ZHENG-HUA,ZHAO YUANYUAN.Study on chaotic behavior of control systems[J].系统仿真学报,2006,18(11):3168-3171.

[4]宋运忠.混沌控制与反控制若干问题研究[D].杭州:浙江大学,2006.