一道高考试题的几种解法

甘肃省白银市银光中学（730900） 裴万平

一道高考试题的几种解法

甘肃省白银市银光中学（730900） 裴万平

题目 （2010年全国卷Ⅱ，39（3）） 下图所示天然气管道长度约为（提示：sin45°≈0．71）

A．1300 km B．1800 km C．1000 km D．2100 km

参考答案：B

解析

该题要求估算天然气管道的长度，图中却没有提供相应的比例尺，显然是在考查一个重要的知识点，即赤道周长约为4万千米。由此知识点可以推导出两个简单而又实用的结论：① 纬度相隔1°的经线段长度约为111km；② 经度相隔1°的纬线段长度约为111km· cosα（α表示纬度）。结论①或②的应用，已成为多年来高考重点考查的能力之一，例如2003年的江苏卷、2004年的北京卷、2005年的全国卷、2007年的海南卷和2009年的宁夏卷均有考查。不同于今年的是，往年的此类试题虽说没有“提示”，但因难度适中，一般的考生都能得分。今年的试题特意增设了“提示”，主观上是为降低题目的难度，客观上反而给部分考生的正常解答造成了一定的干扰，这是因为：该题最有效的解法是直接应用结论①，不用cosα，更不用sinα，然而命题人给了“提示”，为慎重起见大部分考生不得不看、不得不想，这无形中浪费了考场上宝贵的时间。另外，类似cos45°（其值等于sin45°）的特殊值应是考生必备的数学常识，“提示”的必要性不大。从此意义上讲，该题的“提示”纯属多余。

下面，谈一谈该题的四种解法。其中，解法一最优，解法二次之，解法三耗时多，解法四也可用。

解法一：核心思想——应用结论①，即“纬度相隔1°的经线段长度约为111km”。用完整的草稿纸边量得天然气管道的长度约等于纬度相隔16°的经线段长度，即111km×16＝1776 km。B项正确。

解法二：核心思想——应用结论②，即“经度相隔1°的纬线段长度约为111km·cosα”。用完整的草稿纸边量得天然气管道的长度约等于经度相隔23° 的45°N纬线段的长度，即111km×0．71×23＝1812．63 km。B项正确。

解法三：核心思想——应用结论①和②，即“纬度相隔1°的经线段长度约为111km”和“经度相隔1°的纬线段长度约为111km·cosα”。以天然气管道的长度为斜边，在地图上构建（近似）直角三角形，用完整的草稿纸边量得较短直角边的长度约等于纬度相隔5°的经线段长度，即111km×5＝555 km；同样方法量得较长直角边的长度约等于经度相隔19°的45°N纬线段的长度，即111km×0．71×19＝1497．39 km。通过三角公式计算得知斜边的长度约为1597 km，因天然气管道弯曲，其实际长度要大于此数，故B项正确。

解法四：核心思想——逆用结论①，即“经线段的长度（单位：km）除以111km约等于纬度差”。A项1300 km÷111km≈11．71；B项1800 km÷111km≈16．22；C项1000 km÷111km≈9；D项2100 km÷111km≈18．92。用完整的草稿纸边量得天然气管道的“长度”约等于纬度相隔16°的经线段长度，故B项正确。