电磁兼容领域的数值分析方法及其有效性验证

丁永平，王添文，王洪亮

（1.中国兵器工业新技术推广研究所，北京 100089；2.中国船舶重工集团公司第703研究所，哈尔滨 150036）

随着电子信息科学的飞速发展，电子设备的结构越来越复杂，所用器件的集成度、功率等级越来越高。这些变化给系统内部以及系统间的电磁兼容性（Electromagnetic Compatible，EMC）带来了许多问题[1]。为了解决这一系列问题，需要在系统设计的初期考虑电磁兼容方面的需求。

电磁兼容领域的数值分析方法可以帮助设计者建立起系统、设备或器件的数学模型，并通过仿真的方法，在设计初期就对电磁兼容性进行规划和设计。其实质是针对现实中的电磁兼容问题，运用某种或几种数学方法，在麦克斯韦方程的基础上，建立该实际问题的数学模型，并通过对模型解析解或数值解的求解来解决实际问题的一门交叉学科。

1 电磁场数值方法可以解决的问题

电磁兼容领域内的数值分析方法可以解决的问题包括以下几类。

1）基础问题的研究，主要包括辐射场的分布、传播特性、材料的屏蔽效能以及场线耦合问题等。

2）PCB 板级问题的研究，主要包括信号完整性及电磁辐射问题。

3）系统级电磁兼容问题，主要是针对如汽车、飞机等大型系统进行整体建模，并对其综合电磁兼容特性进行分析、改进。

4）标准测试的建模及仿真，是利用数值分析的方法对各种电磁兼容标准测试过程进行建模，在计算机内对系统或设备进行预测试仿真，其优点是节约设计成本，缩短设计时间。

5）电磁生态效应的研究，主要研究生物在电磁环境内所受的影响，目前主要研究的热点是手提电话和电磁炉对人体的影响。

2 常用的数值分析方法

2.1 矩量法（MoM法）

矩量法是由R.F.Harrington 于1968 年在“Field Computation by Moment Methods”中提出的[2]。它所面对的问题主要有：天线设计、微波网络、生物电磁学、PCB 板上的辐射效应及微带线研究等问题。其核心思想是由自由空间格林函数的积分形式得到任意源激励，产生表面电流分布，进而得到电磁场的分布特性。

对于某个系统可以列出：

式中：L 为线性算子；g 为源函数；I 为未知的电流分布表达式。

再将整个系统根据一定的规则划分为N个小区域，则其表面电流分布的表达式就可以表示为：

式中：αn为待定参数。

同样地，将源函数g划分为N个小区域（微元）。

式中：βm为待定参数；Tm为小区域上的核函数。对于式（2）中的每一个小区域电流分布表达式，又可以看成是由被划分后的源函数的每一个微元作用叠加的效果。即：

式中：lmn为待定系数。将式（2），（3），（4）整理得到：

这样就将求解电磁场激励下的电流分布问题转换为求解矩阵逆的问题，在得到电流分布后就可以很容易地算出电磁场分布。

矩量法在解决无边界辐射问题、“细线”问题和均匀电介质问题时表现得尤为突出。近年来矩量法还被应用于解决复杂的电大尺寸问题中。MLFMA（the multilevel fast multipole algorithm），ACA（the adaptive cross approximation algorithm），SVD（singular value decomposition technique）等算法也应运而生，降低了对CPU运算能力和内存的需求。矩量法还可以与解析方法(analytical methods)、传输线矩阵方法相结合解决屏蔽效能问题和线缆辐射与受扰问题。另外矩量法还可以与有限元法相结合解决非均匀材料结构的感应电流问题。

2.2 时域有限差分法（FDTD法）

时域有限差分法是由Yee KS 于1966 年在“Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell equation in isotropic media”中提出的[3]。它所面对的问题主要有：传输线波导的传输、天线的接收检测和辐射、耦合屏蔽和透入效应、散射和逆散射、开关过渡过程等。这种方法最大的特点是适合分析瞬态响应问题，特别是具有复杂几何形状和复杂环境的情形，但缺点是不适合分析低频问题[4]。其核心思想是建立在微分方程基础上的。如图1 所示，首先将空间按立方体分割，电磁场的6个分量在空间的取样点分别放在立方体的边沿和表面中心点上，电场与磁场分量在任何方向始终相差半个网格步长。在时间上，Yee 也把电场分量与磁场分量差半个步长取样。使得利用一阶导数的二阶中心差分近似从Maxwell 方程获得的FDTD 公式。

图1 电场和磁场在空间和时间上的离散Fig. 1 Interleaving of E and H fields in space and time in the FDTD formulation

Maxwell旋度方程为：

式中：H，E分别为磁场和电场分量；D为电通密度；B为磁通密度；J为体电流密度。直角坐标系中，式（7）可以写为：

式中：Hx，Hy，Hz，Ex，Ey，Ez分别为对应方向上的磁场和电场分量；σ，μ分别为介质电导率和磁导率；ε为介电常数。

令f（x，y，z，t）代表E和H在直角坐标中的某一分量，i，j，k，n分别表示x轴、y轴、z轴以及时间轴的单位方向向量。在时间和空间中的离散取以下符号表示：

对于f（x，y，z，t）关于时间、空间的一阶偏导数取中心差分近似，即

带入式（8）和（9）中，经推导整理得到

式中：CA（m），CB（m）均为相应的常数项[4]；Hx，Hy，Hz，Ex，Ey，Ez分别为对应方向上的磁场和电场分量。同样地，可以推导出的表达式。如果知道了初始条件和边界条件，就可以由递推公式得到空间任意复杂结构的电磁场分布。

时域有限差分法未来发展方向主要有：时域有限差分法的稳定性、精确性、误差、网格效应；进一步发展边界吸收条件完全的匹配层（PML）；与热仿真、电路仿真、半导体器件仿真结合解决更多问题；与矩量法、有限元法结合的混合算法等。

2.3 有限元法（FEM法）

有限元法是1969 年由Silveter 在“Finite element solution of homogeneous waveguide problems”将其推广应用于时谐电磁场问题的[5]。它所面对的问题主要有：波导设计、微型芯片设计、半导体器件设计、屏蔽效能分析、生物体对电磁能量的吸收等。其核心思想是将一个复杂连续介质的求解区域分解为有限个形状简单的子区域，作为原区域的等效域，从而把求解连续体的场变量问题化简为求解有限个单元节点上的场变量值问题。

选择空间四面体为单位结构，如图2所示。在此单元内，φe表示任意未知函数，它能够近似为：

式中：ae，be，ce，de均为常数，e为未知变量。

可以证明，差值函数具有如下性质：

图2 有限元法四面体单位结构Fig.2 Tetrahedron unit structure used in FEM

在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，就面临着以结点值为未知数的矩阵方程的求解。将方程写为：

式中：A，b 均为由已知向量组成的矩阵；x 为待求的分布函数矩阵。当上式右端的已知激励矩阵b不为零时，为了确定方程的解，一般利用各种等效方法对矩阵A 求逆，其中最适用于有限元方法矩阵的是分解法。

有限元法未来发展方向主要有：通过设置时域终止边界或与矩量法相结合将有限元法应用于对辐射问题和散射问题的研究当中。

2.4 传输线矩阵法（MTL法）

传输线矩阵法是由P.B.Johns 和R.L.Beurle 于1968 年在“Numerical solutions of 2-dimensional scattering problems using a transmission-line matrix”中提出的[6]。它所面对的问题主要有：波导不连续性、散射问题、信号完整性设计、电缆特性问题分析、天线辐射原理。其核心思想是建立在电磁波传递特性与传输线中电压、电流传播特性相似性的基础上发展而来的，现在已经被推广到了空间问题中。

当仅考虑一维传输线时，集总参数模型的等效电路如图3所示。根据基尔霍夫电压、电流定律，可以得到：

式中：V，I分别为电路中的电压和电流；z为位置坐标；t为时间坐标；l，c分别为分布的电感和电容参数。经过整理、去耦，可以得到：

公式（19）即为传输线法中常用的电报方程。

图3 传输线集总参数模型Fig.3 Lumped parameters model of transmission line

如图4所示，将这一思想推广到三维空间中，空间的每个节点由6个方向的小传输线段组成，每个方向上的传输线用相互垂直的2个电压分量来描述[7]。在每个计算周期内有12个电压变化，产生12个反射电压。而这一组反射电压又称为临近网格的激励电压，周而复始地重复这一过程，就可以模拟电磁波在空间中传播的过程。在建模时需要注意，每个网格划分最大尺寸是所关心最高频率波长的1/10。其过程可以用公式描述：

式中Vi是激励电压矩阵；Vr是反射电压矩阵；S是散射矩阵；C是连接矩阵。

传输线矩阵法发展方向主要集中在模型的改进方面，许多人提出了包含信息更多的SCN 模型。为降低对内存的需求提出的ATLM，ARTLM 是2 种最新的方法。

图4 对称浓缩节点Fig.4 Symmetrical condensed node（SCN）

2.5 局部元等效法（PEEC法）

局部元等效法是由A.Ruehli于1974年在“Equivalent circuit models for three-dimensional multiconductor systems”中提出的[8]。它所面对的问题主要有：互联机构和封装器件的电磁兼容分析、PCB 板级的各种结构仿真问题。其核心思想是将求解麦克斯韦问题转换成求解电路的支路电流和节点电位问题。经过等效以后，可以运用电路的知识来分析电磁场问题，一旦矩阵参数被确定，便可以通过求解等效的电流分布和电位分布，提供麦克斯韦方程的全波解决方案。

根据电磁学理论，电荷密度为ρ，电流密度为J的源在空间任意一点产生的电场强度可以表示为：

式中：σ为导体电导率；r为位置矢量；A和Φ分别为矢量磁位和标量电位。

K个导体系统中：

式中：K（r，r′） 为积分核函数

将式（22），（23）代入式（21）中推导、整理。得到：

通过观察可以看出式（24）中第1 项相当于电阻项，第2 项相当于电感项，第3 项相当于常数项。则可以写成如下形式：

这样就将电磁场的问题等效成为电路的问题。

3 验证数值分析模型有效性的方法

随着各种数值分析方法在电磁兼容领域内的应用不断增加，如何验证数值分析模型的有效性就成为一个值得关心的问题[9]。针对这一问题，提出几种验证数值分析模型有效性的方法。

3.1 通过实验方法验证

实验是最常用的一种验证方法，采用这种方法时，首先要注意实验的各种参数设置应与仿真保持一致。其次，需要在仿真过程中考虑实际测量时的各种限制，比如仿真时观测点探头的输入阻抗应与测试设备相同。当用到天线时，仿真用的是一个近乎完美的天线，而测量用到的实际天线的各种参数会随着频率和方位的变化而变化。最后，应注意实验本身的准确性，在普通环境下做的测试，其准确性通常不够。即使是在一些商业的电磁兼容专业实验室中测试得到的结果通常也会有±6 dB的误差。产生误差的因素很多，主要是测量设备自身的误差、测试电缆敷设的方式、天线因数的变化、实验室墙面反射系数的变化等。

在某些情况下，必须考虑到测试环境的精度问题。当测试数据与仿真结论不符时，应该考虑到是否为测量结果不准确，不应该完全相信测量结果而判定仿真结果错误。

3.2 通过多种仿真技术验证

另一种流行的验证方式就是通过2 种或2 种以上不同的数值分析方法来对同一个电磁兼容问题进行建模[10]。同样需要注意，对于每种建模方法要保证各种参数设置是相同的，这样的比较才是有效的。前面提到的数值分析的方法在采用的时候，要尽量选取机理差异较大的两种进行对比，通常FDTD，FEM，TLM 方法被认为是与体积相关的分析方法，而MoM，PEEC 法被认为是与表面相关的分析方法。在验证时，最好从每一类中都选取一个来进行对比。这样的选取方法要比使用多种基于相同机理的仿真软件来验证的方法得到的结论更为可信。

3.3 通过中间结论验证

数值分析方法提供了比较直观的中间结论，比如空间电场、磁场的分布情况，导体表面电流的分布情况等等。这些结论不能通过实验的方法观察到，但可以很好地帮助验证模型的有效性。在MoM 法和PEEC 法中的稳态电流分布就是一个非常重要的中间结论。其中一个结论是，在两个连续微元内电流是否有突变，在导线的末端电流是否为零，电流的流向是否正确等等，这些都可以帮助判断模型的正确性。另一个重要的中间结论是，在用FDTD 法，PEEC 法，TLM 法时电磁场的特性，是否在通过屏蔽层时明显减弱，是否与理论分析的分布情况一致，也都是判定模型有效性的有力依据。

3.4 通过标准问题和定量问题验证

所谓标准问题和定量问题是指那些已经被实验和仿真论证过，具有定量结论的标准化问题，比如一些半波偶极子的辐射问题等。在采用一种新的数值分析方法时，可以先针对这些已经有结论的标准问题、定量问题进行建模和仿真，用仿真得到的数值或波形与已有的结论进行对比，从而也可以验证这种新型数值分析方法的有效性。

3.5 通过收敛性和参数变化特性验证

收敛性是指采用FDTD法、MoM法、FEM法时需要对分析域进行网格划分，网格的大小一般是所关心最高频率波长的1/10。但这种划分方法往往不够，需要进一步缩小网格的尺寸，如果得到的结论出现错误或不收敛，则说明模型是无效的。如果不具备更强的计算能力，则应考虑采取其它验证方法。

在建模过程中往往包含一些比较重要的参数，通过这些参数的改变，相应的仿真结论会有所变化。这样就可以改变这些参数，然后运用理论分析和以往经验对仿真结果的变化趋势进行判断，如果结论与判断不同则说明仿真模型也是无效的。

4 结论

1）介绍了电磁兼容领域内的数值分析方法可以解决的问题有基础理论的研究、PCB 板级问题的研究、系统级电磁兼容的研究、标准测试的建模及仿真以及电磁生态效应的研究。

2）介绍了包括矩量法、时域有限差分法、有限元法、传输线矩阵法、局部元等效法等几种常用的数值分析方法，分析了各种方法的适用范围和核心思想。

3）对如何验证数值分析方法有效性进行了分析，提出了通过实验、多种仿真技术、中间结论、标准问题和定量问题以及收敛性和参数变化特性等5种灵活、有效的验证方法。

[1]李明，朱中文，蔡伟勇. 电磁兼容技术研究现状与趋势[J].认证与标准电磁兼容，2007，8（7）：61—64.

[2]HARRINGTON R. Field Computation by Moment Methods[M]. New York：Macmillan publishing company，1968：20—38.

[3]YEE K. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media[J]. IEEE Transaction on Antennas Propagation，1966，14（5）：302—307.

[4]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2005：13—20.

[5]SILVESTER P. Finite Element Solution of Homogeneous Waveguide Problems [J]. Alta Frequenza，1969，5（5）：6—16.

[6]JOHNS P，BEURLE R.Numerical Solutions of 2-dimensional Scattering Problems Using a Transmission-line Matrix[J].IEEE Procesure，1971，118（5）：1203—1208.

[7]HEINZ D，CHRISTIAN S，HERMANN S.Numerical Electromagnetic Field Analysis for EMC Problems[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2007，49（2）：253-262.

[8]RUEHLI A.Equivalent Circuit Models for Three-dimensional Multiconductor Systems[J].IEEE Transaction on Microwave Theory Technology，1974，22（3）：216—221.

[9]IEEE Project 1597.1，Standard for Validation of Computational Electromagnetics（CEM）Computer Modeling and Simulation[S].

[10]DUFFY A，COLEBY D，WOOLFSON M.Progress in Quantifying Validation Data[J].IEEE Int Symp on EMC，2003，18（22）：323—328.