建构主义教育理论在数学教学中的运用

陈 婷

(长江工程职业技术学院,武汉 430212)

建构主义也译作结构主义,它的核心是重视人的主体性和创造性,强调以人为中心,视人为认知的主体,是知识意义的主动建构者。因此在建构主义理论的指导下教学中教师只对学生的知识意义建构起帮助和促进作用。

建构主义学习理论认为:首先,人的认识本质是主体的构造过程,即主体借助自己的认知结构去主动构造知识;其次,人们的认识总是在一定的社会环境中完成的,建构活动是具有社会性的。因此,学生彼此互动与通过动手实践获得知识是十分必要的;最后,人与人交流的本质——交流传递的只是信号而非意义。对接受者来说,要对信号加以重新解释,重新构造其意义。

根据建构主义理论,数学创新教育应该以学生自主建构为首要任务。笔者就建构主义有关理论谈谈“定积分的概念”一课的教学案例。

1 教学过程设计

定积分是高等数学的微积分中的重要概念。在教学中除了要求学生能主动思考外,还应充分展示这个概念的实际应用价值。本科课的教学过程设计以“实际问题的解决→定积分概念的提出→抽象出概念→应用”四个环节,环环相加,循序渐进。分别用四个问题的提出、分析、解决为依托,让学生知识结构经历“认知冲突→协作析疑→同化顺应→完善结构”的过程。

1.1 创设问题情境

问题一:学校现有一块地皮,要进行基础建设,需测量此块地皮的面积。(如图1)

图1 所求面积地皮图

此设计意图有两点,其一,构建主义理论的弗赖登塔尔认为,数学的根源在于普通的常识,知识实质上是人们常识的系统化,每个学生都可能在一定的指导下,通过自己的实践活动来获得这些知识。因而,教师可以通过有目的地向学生提供一些生活素材来创设问题情境,引导学生积极主动的思考。其二,用学生认知结构中已经具备的旧知识去解决新问题时,学生往往缺乏联系,教师适当的引导,启发学生积极寻找新知识的生长点,大胆地尝试。通过问题的解决,让学生亲身经历对新知识的“理解”和“消化”的过程,达到认知结构的整合。

第一问题引入后,每个学生都会按照自己原有的认知水平去理解,并对疑问做出自己的“解释”,通过学生之间的研究讨论,形成趋于一致的意见——若用一个矩形面积来近似表示面积,存在太大的误差;将整个面积分成多个小部分,适当用多条经纬线将整块地皮分割(如图2),就形成了地皮中部的规则图形——矩形,测量之后准确面积容易求出;剩下的工作只是求出边缘的一些不规则的小图形的面积,而这些小图形的面积可用近似面积矩形替代,这样将整体分割之后再取近似值可以减小误差。学生讨论的过程中充分展示了这个问题得以解决的全过程。

图2 求解示意图

这个问题的解决体现了将整体问题部分化的求解过程。对于边缘部分图形的面积研究是求出整块地皮面积的关键。

问题二:边缘部分图形的面积。

本设计意图也有两点,第一,出现新问题,让学生产生认知冲突,激发学生探知的强烈欲望。第二,用学生自己亲身形成的思想方法举一反三,深入问题的本质。

第二问题的提出激起学生进一步探究的兴趣,学生原有规则图形面积的知识结构已无法对疑问作出说明,于是,学生们积极地调动和调整原有的认知结构,通过化归和转化数学思想的运用,把新旧知识有机联系起来,从旧的知识中找到新知识的生长点,使问题得以缓解,从而建立起定积分概念的结构。通过学生对第一个问题解决的方式方法,诱导学生归纳出“先分割,再近似替代,求和”的思想方法,得到近似值,再进一步启发学生观察、分析这个所得的近似值如何能逼近真实值。

1.2 实际到理论,发现积分的思想

(如图3)不妨在平面直角坐标系下来考量这些边缘部分的小图形的面积,观察不难发现这些图形都具有这种类型——由一对平行直线或者其中一条直线缩成了一个点以及另一条曲线和一条直线构成的封闭图形,我们称它为曲边梯形。它的面积如何求解?

分割之后留下了满足矩形特点的对边,这也容易分割,只用在横轴X上插入多个点,不妨插入n-1个点。从中你能发现什么?

让学生们分组讨论,老师加以适当的引导,得出准确的描述:要能产生逼近的效果只需使用小块的区间长度来表现,用所有的区间长度趋向于零来阐述很贴切。更可以通过“插入的点越多,区间的长度越小,所得面积和越逼近地皮本身的面积。”中的“……越……越……”这个概念让学生联系到已经学过的极限的概念。

此设计意图旨在实现学习活动及其构成,这不能单纯看成是个人的进程,而应该成为师生、学生间的共同活动,包括一起分析并寻找联系与解答,一起设计与证明,还一起检验与评估其结果。以此,创设一个好的“学习共同体”。

1.3 定积分的概念的提炼

问题三:大体的概念形成了,我们能否归纳一下我们之前所探讨的一系列解决问题的思路?如果能,如何用简练的语言来描述?

对前面的一系列问题经过讨论后,启发学生对疑问做出归纳整理,通过几个小问题的逐一解决,促进学生的自我反省,鼓励学生主动提炼知识要点,并对结论作出规范严谨的叙述,逐渐把新的对象纳入到已有的认知结构中,从而形成一个完整的知识网络。要求学生交流协作,教师巡回指导,间或也参与讨论,适时点拨。使学生能提炼出定积分的思想方法“分割——近似替代——求和——取极限。”

教师用数学语言与符号给出定积分的规范而严谨的概念后,在几何意义的基础之上再运用这个思想解决一个物理问题:变速直线运动。定积分的概念能够解决一些切实的问题,可对学生提问:你能概括地(抽象地)说出实际中哪一些问题可以用定积分的思想方法来解决么?

图3 平面直角坐标求解地块面积图

学生通过相互探讨,在教师的启发之下得出:对于任何一个非理想状态的量U,如果满足两个条件:对于某个非理想状态的量U,它在理想状态下可以由另两个量V,Z的乘积表示(其中V与Z之间存在某种函数关系),而且V或Z有一个量是可以分割,都可以用“分割——近似替代——求和——取极限”的思想求解。

1.4 概念的应用

问题四:一圆柱形蓄水池高5米,底面半径为3米,池内盛满了水。要把池内的水全部吸出,需要做多少功?(只需将所做的功用已知条件表示出来,无需计算最终结果)第四问题是一个实际问题,通过此问题的解决,旨在巩固学生已建立的新的认知结构,同时,培养学生的自我监控能力。

1.5 教学案例小结

对于本课程的教学过程的设计,旨在:第一,让学生掌握化归的思想和从实际问题到理论构建数学模型的思想方法,学会观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑方法;第二,使学生认识到对事物保持原形,有利于我们更好地发现问题的实质,不失一种好的手段;第三,通过课程体验,教师由所得概念的原始出处来让学生理解性质,是一种有效手段,不妨试一试;最后,数学来源于现实生活,应用于现实生活。

2 对教学案例中的建构主义学习理论的运用分析

课例以四个问题解决的全过程,围绕学生对数学概念的形成与应用来设计,有效地发挥了教师的主导作用和学生的主体作用。具有下列明显的特点:

2.1 学习的主动性

掌握知识的过程实际上是学生个体的认知结构的建构过程,因此,教学的基本任务就在于促进和增强学习者内部的学习过程。具体地说,就是让学生承担责任。教师应努力使学生感到数学学习活动是有意义的,因而教师不应简单地提出问题,而应使有关内容尽可能结合学生的数学现实,与学生的实际生活相联系,使学生感到有趣,而且感到自己能胜任这一任务,从而调动学生的学习积极性。

本课例中,从一个实际生活例子的引入,到积分思想的形成、提炼出定积分的概念、又服务于实际生活等,都是学生自己利用已有的知识、方法思想“同化”和“顺应”出来的,教师仅为学生创设了可供知识外在的相应情境,帮助他们完成这些知识的意义建构。

2.2 有效的互动性

教学过程是师生相互交流的双边活动。建构主义强调的交流,是基于有效的师生、生生之间互动基础之上的。这种有效的互动性需要教师创设良好的学习环境,努力培养出一个好的“学习共同体”。这个共同体的特点是:每个人(包括所谓的差生)都得到应有的尊重和理解,而不是受到轻视和压制;真理的标准是理性而不是教师,也不是任何权威;共同体的成员保持思想的开发性,即提倡不同思想、不同见解的充分交流,乐于进行自我批评,善于接受各种合理的新思想。

本课例充分地体现了“民主教学思想”,让学生充分发表意见,因而,人人都开动脑筋,积极思考、踊跃发言。从我们解决不规则的封闭图形的面积为基点,到曲边梯形的面积求解,进而提炼出定积分的概念,又引导学生联想一般非理想状态的量的关系。这些都是师生共同合作的产物。

2.3 思维的真实性

奥苏贝尔指出,影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。因而,在教学中,教师了解学生的真实的思维活动是一切教学工作的实际出发点。教师应当“接受”和“理解”学生的真实思想,尽管它可能是错误的或幼稚的,但却具有一定的“内在的”合理性,教师不应简单否定,而应努力去理解这些思想的产生与性质等等,只有真正理解了学生思维的发生发展过程,才能有的放矢地采取适当的教学措施以便帮助学生不断改进并最终实现自己的目标。

本课例是由教师的四个大问题的提出,辅以教师的子问题的启发,或点拨,或诱导,使学生的思维活动真实地暴露出来,通过学生的答疑和讨论,师生、学生之间的协作和会话,在“学习共同体”中,每个人都展示了自己的真实想法,并在交流活动中使意见趋于统一,从中得到提高。

[1]郑毓信,梁贯成.认知科学、建构主义与数学教学[M].上海:上海教育出版社,1998.

[2]唐瑞芬,朱成杰.数学教学理论选讲[M].上海:华东师大出版社,2001.