具有饱和约束不确定离散系统的最优控制

陈衍峰,刘维玲

(通化师范学院 数学系,吉林 通化134002)

1 问题描述

考虑下面的不确定离散系统

x(k+1)=[A+△A(k)]x(k)+

[B+△B(k)]u(k)

(1)

性能指标

(2)

其中，xk=x(k)∈Rn是系统的状态向量，uk=u(k)∈Rm是控制变量，A∈Rn×nB∈Rn×m是系统的给定矩阵，R和Q是给定的适当维数的正定矩阵、B是已知适当维数的常数矩阵，系统的不确定性△A、△B满足如下约束条件：

[△A,△B]=DF(t)[E1，E2],FT(t)F(t)≤I

(3)

系统的控制u(k)满足如下约束条件：

(4)

定义1 对系统(1)和性能指标(2)，若存在一个矩阵K∈Rm×n和一个对称正定矩阵P∈Rn×n，使得对所有允许的不确定性[A+BK+DF(E1+E2K)]TP[A+BK+DF(E1+E2K)]-p+Q+KTRK<0.则状态反馈控制律u(k)=Kx(k)称为是系统(1)的一个具有性能矩阵P的保性能控制律.

Y>0，当且仅当D>0，且A-BC-1C>0或A>0，且D-CA-1B>0.

2 最优控制器设计

定理1 对于系统(1)和性能指标(2)，若存在α>0，矩阵K∈Rm×n，对称正定矩阵P∈Rn×n和对称矩阵Z∈Rn×n，使得对所有允许的不确定性不等式

[A+BK+DF(E1+E2K)]TP[A+BK+

DF(E1+E2K)]-p+Q+KTRK<0

(5)

(6)

(7)

(8)

都成立，u(k)=Kx(k)则满足约束条件(4)式，同时闭环系统

x(k+1)=[A+BK+DF(E1+E2K)]x(k)

(9)

则由(8)式得到u(k)=Kx(k)满足约束条件(4)式.

由该定理可知

其中，不等式(5)式等价于

等价于

此式又等价于存在ε>0，使得

应用引理2，则上式又等价于

(10)

同样对不等式(6)式和(7)式应用Schur引理，并令αP-1=X,αKP-1=Y，可得(6)式和(7)式分别等价于

(11)

(12)

通过上面的分析，因此本文要解决的问题可由下面的广义特征值最小化问题解决

3 数值算例

针对本文提出的问题，设

对没有不确定性的系统可求出其最优解为

ε=0.0013×107，α=9.6287×107，

Y=107[-0.0052 0.0004]，Z=9.6287×107，

参考文献:

[1]俞立,徐建明.具有控制约束的不确定离散系统最优保性能控制[J].系统工程与电子,2004,26(10):1453-1456.

[2]俞立,王景成,褚健.不确定离散动态系统的保成本控制[J].自动化学报,1998,4(3):414-417.

[3]王永强.输入受约束系统的稳定性分析及抗饱和控制研究[D].杭州:浙江大学,2006.

[4]Nian Xiao Hong, Yang Ying and Huang Lin. Matrix Approximation with Contraints of Matrix Inequalities and Applications in Robust Control[J]. Acta Automatica Sinica,2005,31(3):351-358.

[5]Zhao Ke You, Wei Ai Rong. On Asymptotic Stabilization of Linear Discrete-Time Systems with Saturated State Feedback[J]. Acta Automatica Sinica,2005,31(2):301-304.