HIV/AIDS传播的动力学模型及其分析

徐英，杨娟

(遵义师范学院数学系，贵州遵义563002)

到目前为止，已有许多作者建立并研究了一些非常有用的关于HIV/AIDS传播的数学模型.文献[1]把总的性活跃人群分成男女两大类，并进一步把男性、女性人群分成三部分：易感人群；处于潜伏期的人群；处于发病期的人群.该文献通过对所建模型进行分析，在理论上给出相应的预防HIV/AIDS的措施.文献[2]和[3]考虑了患者从感染HIV到发展成AIDS病人要经历两个不同的发展时期：隐潜伏期和潜伏期.而文献[4]又进一步把未感染HIV的人群分成两类：容易感染HIV的人群和有文化素养的人群，该作者建立了离散的时延常微分方程组，并对其进行定性分析，研究公共卫生教育对疾病传播的预防作用.可以看到，文献[1~5]得出了比较好的结论，但是他们忽略了一重要因素，即治疗性疫苗可以使一些AIDS病人转移到潜伏期.

AIDS病人有较高的传染力，但一些模型([3],[5])却忽略了这一点，文献[6]考虑到了此因素，但忽略了治疗性疫苗对AIDS病人的作用，文献[7]建立了较完美的模型，却忽略了垂直传播这一因素.

本文建立了一HIV/AIDS传播的动力学模型，考虑了垂直感染、AIDS病人具有传染性、AIDS病人有可能恢复到潜伏期这些因素；并根据HIV/AIDS的发病特点，在发病期内引入了发病年龄，用偏微分方程来描述患者在发病期的发展过程.利用系统方程，直接得出：当AIDS引起死亡率变化时社会总人口衰减.此外，利用泛函分析方法和有界线性算子半群理论分析了系统的适定性问题.

1系统动力学模型

本文把总人群分为未成年人和成年人两大类，其中未成年人又分为没有感染HIV的人群Cu和Ci已经感染HIV的人群；成年人分为低危险人群S1，高危险人群外S2，处于隐潜伏期的人群E，处于潜伏期的人群I以及处于发病期的人群A，本文把未感染HIV的男性同性恋者、性病病人、多个性伙伴者、静脉注射吸毒者定义为高危险人群.剩余的那部分未感染HIV的人群称为低危险人群.分别用Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)表示t时刻各类人群Cu，Ci，S1，S2，E，I2的人口数目；用A(a,t)表示t时刻发病年龄为a的A类人群的人口分布.发病年龄为a是指个体在发病期已经度过的时间为a.其中，rm表示人群的最高年龄.

本文假设人口出生率为μ0，自然死亡率记为μ，设S1，S2，E三类人群的新生儿均进入Cu，考虑到垂直感染，I和A的新生儿分别以概率ω1，ω2进入Cu，而Cu类人群以概率θ1，θ2分别进入S1，S2，以θ3概率进入E；Ci类人群因病死亡的概率为γ，并以θ4概率进入E，I和A的新生儿分别以概率（1-ω1）和（1-ω2）进入Ci；S1中的个体以概率为ρ1进入E，而S1中的个体以β1转移到S2，S2中的个体以概率β2进入S1；S2中的个体以概率ρ2进入E；E中的个体以概率σ进入I；I中的个体以概率τ1进入A，设A中的个体以概率τ2(a)恢复到I，其中τ2(a)是关于发病年龄a的函数；A中的个体单位时间内因AIDS死亡的概率为δ(a)，该死亡率与发病年龄a有关.于是可得Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)，A(a，t)这7类人群的变化率：

图1是方程(1.1)-(1.8)的图表描述.其中，

对方程(1.7)在[0,rm]上关于a求积分，然后与(1.1)-(1.6)相加得：

若出生率等于自然死亡率，即μ0=μ,则上式变为：

(1.9)式表明AIDS的存在导致社会总人口将出现负增长，最终导致人群灭绝.但如果γ=δ(a)=0，则(1.9)变为：

上式表明，在AIDS不会导致个体死亡的情况下，社会总人口维持平衡，即总人口是稳定不变的.因此，在有AIDS存在并由此导致死亡率发生变化的情况下，为维护社会人口平衡必须要求出生率大于死亡率.

2系统确定的发展方程

本节在μ0=μ的条件下，分析系统所确定的发展方程，此时系统方程为：

带有初值条件：

根据实际问题的要求，取状态空间：

并取范数：

在X中定义算子A：

其中A的定义域D(A)为：

则系统方程(2.1)可写成中的抽象发展方程：

其中P(t)=（Cu(t),Ci(t),S1(t),S2(t),E(t),I(t),A(a,t)）,P0=（C0u,C0i,S01,S02,E0,I0,A0(a)）

3 系统的适定性

本节讨论系统的适定性,利用Banach空间上的C0半群理论，只需证明算子A可生成一C0半群.

定理3.1空间X与算子A如(2.2)-(2.4)定义，则A是闭稠定算子.

证明过程类似于[8]，此处略.

定理3.2空间X与算子A如(2.2)-(2.4)定义，则A是耗散算子，且1∈ρ（A）.

证明直接验证可知X的共轭空间X*为：X*=R×R×R×R×R×R×L∞[0,rm].

下面分两步来证明，

第一步：证明A是耗散的，即证，对每个P∈D(A)都至少存在一个Q∈F(P)，

任取向量P∈D(A)，P（t）=（Cu,Ci,S1,S2,E,I,A(a)），定义

其中，

则Q=（q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7(a)）∈X*,(P,Q)=‖P‖2.因此Q∈F(P)，进一步有

计算可得ℜ(P,Q)≤0，即A是耗散算子.

第二步：验证1∈ρ(A).

此证明过程类似于[8]，此处略.

引理3.3若A是闭稠定耗散算子，且1∈ρ(A)，则A生成一个C0半群T(t),并且满足‖T(t)‖≤1.

由引理3.3，再结合定理3.1和定理3.2，可得出如下定理：

定理3.4空间X与算子如(2.2)-(2.4)定义，则A生成一C0半群T(t)，t≥0.

由定理3.4，可得出系统方程(2.1)是适定的：

定理3.5空间X与算子A如(2.2)-(2.4)定义，则系统方程(2.1)存在唯一的解，且此解连续依赖于初值P0,即P(t)=T(t)P0.

[1] Z.Mukandavire.Modelling circumcision and condom use as HIV/AIDS preventive control strategies[J].Mathematical and Computer Modelling，2007,（46）:1353-1371.

[2] James M.Hyman,Jia Li.The reproductive number for an HIV model with differential infectivity and staged progression[J].Linear Algebra and Its Applications,2005,（398）:101-116.

[3] C.Connell.McCluskey.A model of HIV/AIDS with staged progression and amelioration[J].Mathematical Biosciences,2003,（181）:1-16.

[4] Z.Mukandavire.Modelling effects of public health educational campaigns on HIV/AIDS transmission dynamics[J].Applied Mathematical Modelling,2009,33(4):2084-2095.

[5] Z.Mukandavire.Asymptotic properties of an HIV/AIDS model with a time delay[J].J.Math.Anal.Appl,2007,（330）:916-932.

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[8] 邓惠,许跟起.带有反馈与起动故障的M/G/1重新访问排队系统的适定性分析[J].数学的实践与认识，2005,35(9):173-181.