“直角三角形三边的关系”教学实录与评析

✿四川省宣汉县中小学教学研研室 赵绪昌

✿四川省宣汉县新华中学 刘 欣 刘小峰

“直角三角形三边的关系”教学实录与评析

✿四川省宣汉县中小学教学研研室 赵绪昌

✿四川省宣汉县新华中学 刘 欣 刘小峰

（教材选自华东师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十四章第一节“直角三角形三边的关系”.）

【教学过程】

师：上课！同学们好！

生：老师好！

师：同学们，请看大屏幕（屏幕上呈现两棵美丽的“勾股树”，如图①所示，学生兴高采烈地看着大屏幕，学习积极性马上就被调动起来.先欣赏图①10秒后再让学生欣赏图②10秒.）

师：（屏幕上显示图①） 屏幕上的树是由什么图形组成的？

生1：（反应迅速）三角形.

生2：（兴奋地）还有矩形.

师：能说细一点吗？

生3：（思考了一下）直角三角形.

师：（欣赏地点一下头）很好.

师：这两棵树看起来为什么这么漂亮呢？那是因为直角三角形的三边有特殊的关系.（出示本节课的课题）在现实生活中直角三角形的三边的关系有着广泛的应用，请看例题（出示图③）：

师：你如何求出示意图中线段AB的长度？（学生沉思.）

师：为了解决这个问题，先请同学们在纸上用直角三角板随便画一个直角三角形（“直角”语气重一点），再度量出所画直角三角形三边的长度.说一说这3个数的情况.（学生拿出直角三角板认真画，教师到学生中间巡视.大部分学生很快就完成了要求，纷纷举手.）

生4：2.8厘米，3.7厘米，4.6厘米.

生5：1.6厘米，2.8厘米，3.3厘米.

生6：6厘米，8厘米，10厘米.

师：看来大家所画的直角三角形还比较标准.（面带微笑，轻声地）同学们，这3组数中，我们把较小的两个数平方后加起来，再把最大的这个数平方，这两个结果是否相等？

（学生拿出计算器认真地计算着，很快得出结果，纷纷举手.）

生7：相等.（刚说完，有大部分学生又举手.）

生8：不相等.

生9：不相等，但相差很小.

师：（表示认可）好，同学们都观察得很仔细，回答都正确，我们可以猜想这两个结果相等.究竟这个猜想是否正确呢？这节课我和同学们一起来研究直角三角形三边的关系.（出示课题——直角三角形三边的关系.）

师：我们一起先研究特殊的直角三角形（等腰直角三角形）三边的关系.请看下图（出示图④）.

师：网格图中的3个正方形Q、P、R的面积有什么关系？（学生观察了一会儿，大部分举手.）

生10：（惊喜）SP+SQ=SR.

（学生都纷纷点头，表示同意.）

师：（投去赞许的目光）你观察得很仔细.那么，正方形Q的面积是否等于BC2呢？

生：（自信地）等于.

师：同理，正方形P、R呢？

生：（异口同声）SP=AC2，SR=AB2.

师：把SP+SQ=SR换为等腰直角三角形ABC的边的等式.这个等式是怎样的？

生11：（得意）AC2+BC2=AB2.

师：很好（停顿）.AC、BC、AB在Rt△ABC中是什么边？

生12：AC、BC是直角边，AB是斜边.

师：由此可得出什么结论？

生13：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：（看着大家，有意地）你们认为他说得完整吗？

生14：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：说得对.（教师边说边充满期待地看着学生，并出示图⑤.）

师：在一般的直角三角形中，两直角的平方和是否等于斜边的平方和呢?

师：请同学们在网格图中动手画出三边为3、4、5个单位长度的直角三角形，然后分别以它的三边长作正方形，观察3个正方形有什么关系?

（动手操作.出示图⑥.）

师：观察图⑥，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到:正方形Q、P的面积为多少？（很多学生举手.）

生15：SP=9，SQ=16.

师：SR呢？怎样计算？

生16：（思考片刻）可以数方格，还可以采用割补法.

师：(征求意见的语气)大家同意吗？

生：（点头）嗯！

师：（让学生在网格图中实际画一画、数一数）请看屏幕：（动画演示.把图中的正方形R逆时针方向旋转，使一边与网格线重合）问：正方形R的面积等于多少？

生：（不约而同地说）25.

师：（肯定的语气）是等于25，这三个正方形的面积有什么关系？

生17：SP+SQ=SR.

师：很好，把SP+SQ=SR换为直角三角形ABC的边的等式.这个等式是怎样的？

生：（心领神会，马上回答）AC2+BC2=AB2.

（学生点头，表示同意.）

师：由此可以得到什么结论？

生18：两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：（看着大家，有意地）你们认为他说得完整吗？

生19：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：精彩！（边说边伸出大拇指，给学生以真诚的鼓励）图中的Rt△ABC是等腰直角三角形吗？

生：（齐答）不是，是一般的Rt△ABC.

师：因此可以得到以下结论（出示图⑦）.

师：我们再来验证一下这个结论（出示图⑧）.

师：斜边的长度是多少？可采用哪些方法度量？

生20：用刻度尺.（有几个学生举手，想补充.）

生21：和网格上的险段进行比较.

师：（面向学生21）你真聪明！确实还可以通过旋转与网格上的线段进行比较.（把斜边绕下方端点旋转一定角度，使之与网格线重合，得出斜边等于13的结果.）

师：（让学生尝试后）利用勾股定理可以计算直角三角形中各边的长度（出示图⑨）.

师：①②中的已知什么边求什么边？

生22：已知两直角边求斜边.

师：（给学生一定作业时间，抽生回答，集体纠正错误.出示第二个练习如下图.）

师：图中的①②已知什么边求什么边？

生23：已知一直角边和斜边，求另一直角边.

师：（给学生一定作业时间，抽查学生回答，集体纠正错误）回到引题（课件回到图③）：问：解决这个问题就是求示意图中Rt△ABC的什么边？

生：（齐答）斜边.

师：怎样列式？

师：当斜边不明确时怎么办？（教师故意停顿，等待学生回答.）

生26：（心神领会，马上回答）分情况讨论.

师：（肯定的语气）是的，请看（边说边出示练习）.

师：随着问题的解决，本节课的学习也即将结束，同学们，学习了本节课，你们有哪些收获？

（马上有学生举手.）

生27：知道了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

生28：还知道了怎样利用勾股定理解决实际问题.

师：（鼓励）很好.请继续思考.（边说边出示下一个图片.）

生：（齐声）不是，勾股定理是针对直角三角形而言的.

师：看来，大家对勾股定理理解得非常好，真是太棒了.

师：这节课就到这.下课，同学们再见！

【教学反思】

1.欣赏图片，激发兴趣.通过欣赏美丽的“勾股树”图案以及2002年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案，让学生了解我国古代辉煌的数学成就，引入课题.接下来，让学生在纸上随便画一个直角三角形，用刻度尺量一量三边的长度，找一找这三个数据是否具有特殊性，让学生初步作出猜想.这样，一方面激发学生的求知欲望，另一方面，也对学生进行了学习方法指导和解决问题能力的培养.

2.分析探究，得出猜想.通过对网格图中的等腰直角三角形到一般直角三角形中三边关系的探究，让同学们体验由特殊到一般的探究过程，学习这种研究方法.

3.确定猜想成立，得出定理.在这一过程中，学生充分利用学具去尝试解决，力求让学生自己探索，先在小组内交流，然后在全班交流，尽量学习更多的方法.

4.反思归纳，总结升华.一是让学生自己回顾总结本节课的收获.（当然多数为具体的知识和方法）.二是教师要引导学生学习科学家敏锐的观察力和勤于思考的作风，不断提高自己的数学素养，适时对大家进行思想教育.

5.练习巩固.主要练习勾股定理在求直角三角形的边和解决现实生活中的实际问题的应用；规范解题格式.

本节课的优点：①重点突出，难点突破；②能力要求适中；③学生能回答教师提问；④层次分明，密度合理，安排严谨；

本节课的缺点：①异地上课，课件准备不充分；②多媒体无动画功能，造成课件中的图形、线段该旋转的动不起来，直观性不强.

【教研组评析】

这节课的特点是设计起点高、探究性强、实施难度大、教学价值高，是一节成功的探究课.具体体现在以下两个方面：

第一，这节课较好地体现了新课程理念.从教学设计到教学实施都立足于学生，从学生的生活经验、学习经验及实际情况出发，特别是在内容安排和问题设计上，教师做到了“以生为本”，关注学生学习的起跳点、关注学生学习的需求点、关注学生学习的优势点.这节课学生学习的起跳点就是勾股定理的归纳，这节课学生的需求点就是学生的探究欲望，这节课学生的优势点是学生有较高的思维水平.从电杆拉线问题的设计来看，充分体现了教师重视数学知识的形成、重视对学生应用数学意识的培养.从教学实施情况来看，教师注重过程性教学，并将知识、技能、思想、方法、策略等蕴含于教学过程之中.另外，教师根据教学内容恰当地选择了教学方式，做到突出探究式教学，兼顾讲授式教学，教学实施过程比较自然合理.应该说，新课程理念在这节课上得到了较充分的体现.

第二，从教学设计上看，具有生成性，体现了教学创新的意识.这节课是华师大版八年级上册第十四章勾股定理的新授课.对勾股定理这一章来说，从课标要求到教材内容设置起点都比较低——一方面表现在知识点少即仅有勾股定理的内容，另一方面表现能力要求单一，即运用勾股定理解决简单的实际问题.教师在没有现成、固定的教学练习情况下，设计一节探究课确实是一件比较困难的事.刘老师能知难而上，深入研究课标、反复研读教材，根据学生实际情况，利用教材资源和学生的智慧资源设计出这节课的练习内容，具体来说，图⑨上的练习是对教材中例题的继续与延伸，做到了依靠教材又超越教材，有助于学生质疑、发现、解决问题等能力的提高.总之，这节课的内容具有生成性和创造性.

本节课的优点：

①重视知识形成过程，实施有效教学；②引导学生，了解教材；③师生交往互动；④学生学习热情高，思维积极，发言踊跃.

本节课的缺点：

①渗透德育教育不够；②没有运用多种手段创设问题情境；③教学手段应用不很适当、先进性不够；④课堂作业设计形式单一，创新性不强.（四川省宣汉县新华中学 数学教研组）

【教研员评析】

我个人认为：第一，从教学实施过程来看，较好地发挥了学生的主体作用，教师的主导作用.这节课的活动模式是：先动手画一画，量一量——然后对数据进行观察，产生猜想——再探究归纳规律——利用定理解决实际问题，以这样一个活动主线展开教学过程.在每个活动环节中，特别是在学生探究解决问题方案的过程中，教师能走进学生，与学生一起讨论、交流，发现并收集学生在活动中所遇到的对问题认识的疑点、处理问题的难点、解决问题的亮点.具体表现在：得出网格图中的正方形R的面积时，学生用了两种方法：第一种是割补法，学生分别取零补整等情况进行探究；第二种是旋转法，利用动画进行探究.在此教师不仅发挥了一个组织者、引领者的作用，同时发挥了一个参与者与合作者的作用.学生作为活动的主体，由于有充分的独立思考时间，学生的各种思维也被有效激活，为合作交流奠定了有利基础.特别是对得出结论的处理，学生既有观察、质疑、猜想，又有探究、交流，充分调动了学生参与活动的积极性，激发了学生探究问题的强烈欲望.而P51练习2中不仅能检测学生的数学知识，还大大促进了学生数学能力的提升.在教学实施过程中，不仅体现了教师的教学指导力度，还凸显了学生的参与广度以及学生的思维深度.

第二，从教学方式操作的效果来看，教师对探究式教学理解得比较深刻.具体表现在：内容选择具有较高的探究价值——思考性、挑战性、生成性、开放性.另外教师对探究式教学的操作步骤安排得比较合理：安排了质疑、猜想、探究等环节.教师恰当地引导学生质疑、鼓励学生用自己的方式解决问题、恰到好处地运用合作交流，激活了学生的参与积极性与创造欲望，这是探究式教学所极力倡导的教学效果，这节课做到了学生是知识的发现者、探究者和拥有者.

第三，对这节课谈两点建议：1.独立思考是学生回答问题的前提，因此建议抽问前要给学生充分的独立思考时间；2.在动手操作后应给予学生充分的交流展示的时间与空间，让学生揭示自己的思考方法、思维过程，使所有参与探究的学生对问题都能理解掌握，使探究活动更有实效性.

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❖编辑/张烨