一类行列式的计算公式

钱学明

(无锡科技职业学院基础部,江苏无锡214028)

样条插值理论中常见的Jacobi矩阵是一类重要而特殊的矩阵,与之对应的行列式也是人们研究的热点.由于其n阶行列式呈现带状,因而具有一定的递推关系.

《高等代数》[1]中,讨论n阶带状行列式主要是利用行列式的性质将行列式化成上三角或下三角行列式进行计算;或者也可以根据行列式按行 (列)展开定理展开来计算.文献 [2]利用母函数的方法讨论了具有递推关系Dn=b1Dn-1+b2Dn-2, (n≥3,b1,b2是非零常数)的 n阶行列式Dn的计算公式.文献[3,4]应用差分方程的方法解决了具有递推关系Dn=aDn-1+bDn-2和Dn=c Dn-1+d的n阶行列式Dn的值.

本文将利用 Z变换的方法来讨论一类更一般的具有形如Dn=p Dn-1+qDn-2+r的递推关系的n阶行列式的计算公式的问题.所获得的结论推广了文献 [2-4]中讨论的结果.结合实例,我们发现利用 Z变换的方法不但可以方便地、有效地给出此类具有递推关系的n阶行列式的计算公式,同时也是直接计算此类n阶行列式是一个很好的途径.

1 预备知识

Z变换的概念[5-7]设 x(n)为一右边序列,若级数(n)z-n在Z平面的某一邻域内收敛,z为复变量,则称 X(z)=n)z-n为序列 x(n)的 Z变换,记为 X(z)=Z[x(n)].

若 X(z)是 x(n)的 Z变换,则称 x(n)为 X(z)的 Z逆变换,记为 x(n)=Z-1[X(z)].由上述方式定义的 Z变换称为单边Z变换.

Z变换有许多基本性质,掌握这些性质可简化 Z变换的计算.

(2):移位性质 若 Z[x(n)]=X(z),k为正整数,则 Z[z(n+k)]=z

2 主要结论及证明

设 Dn表示n阶行列式,Dn-1,Dn-2,D2,D1,分别为与 Dn同型的n-1,n-2,2,1阶行列式.

定理1 如果 n阶行列式满足递推关系Dn=p Dn-1+qDn-2+r,p,q,r为与n无关的常数,则

其中α,β为方程z2-pz-q=0的两个根.

证明 由于 Dn=p Dn-1+qDn-2+r(n≥3)等价于 Dn+3=p Dn+2+qDn+1+r(n≥0),为计算方便,考察

其中α,β为方程z2-pz-q=0的两个根.

推论2 如果 n阶行列式满足递推关系Dn=p Dn-1+r,p,r为与 n无关的常数,则 Dn=D1pn-1+

若在 n阶行列式满足递推关系Dn=p Dn-1+r,p为与n无关的常数,而 r与n有关,此时,利用行列式中元素的对称性,可得另一个递推关系 Dn=sDn-1+t,s为与n无关的常数,而t与n有关.消去 Dn-1就可以解得Dn.

3 应用举例

4 结 语

本文利用 Z变换的方法讨论并获得了一类具有形如Dn=p Dn-1+qDn-2+r的递推关系的n阶行列式的计算公式.该结论推广了文献 [2-4]中讨论的结果.同时,通过实例我们发现利用所获得的计算公式可以非常方便地得到此类行列式的结果,同时,利用 Z变换的方法来计算此类具有递推关系的n阶行列式也不失为一种很好的方法.

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 [M].北京：高等教育出版社,2007：1-50

[2] 刘崇华.一类行列式的计算公式 [J].高等数学研究,2006,52(04)：103-104

[3] 杨桂元.用差分方程计算行列式 [J].高等数学研究,2007,53(01)：86-87

[4] 籍明文,孙自强.差分方程在计算n阶行列式中的应用 [J].河北北方学院学报：自然科学版,2008,24(02)：10-12

[5]Jury EI.Theory and Application of the Z-Transform Method[M].New York：John Wiley&Sons,1964

[6] [美]默斯 EJ著,葛明浩译.Z变换 [M].北京：人民教育出版社,1980：20-90

[7] 白艳萍,雷英杰,扬明.复变函数与积分变换 [M].北京：国防工业出版社,2004：8-43

[8] 胡锡恒.实用拉普拉斯变换与Z变换手册 [M].北京：电子工业出版社,1988：5-72