M-P广义逆矩阵的一些性质

付宏伟

(孝感学院成人教育学院,湖北孝感432000)

M-P广义逆矩阵的一些性质

付宏伟

(孝感学院成人教育学院,湖北孝感432000)

给出了M-P广义逆矩阵的一些重要性质。

M-P广义逆矩阵;共轭转置阵;满秩分解

广义逆矩阵是20世纪20年代初由Moore提出的,但在当时并未引起人们的注意。直到20世纪50年代中期,又由 Penrose提出,情况就发生了根本的变化,广义逆矩阵成为了矩阵理论中的一个研究热点[1-3],这主要源于它的广泛应用。目前,它已在概率统计、数学规划、数值分析、控制论、博奕论和网络理论等领域中得到了不同程度的应用。

1 预备知识

对任意一个m×n矩阵A,Penrose(1955)用下面的4个方程定义了A的广义逆矩阵X:

其中A＊表示A的共轭转置阵。用Penrose条件的全部或一部分可以定义各种类型的广义逆矩阵,但本文研究的是满足以上4个条件的广义逆矩阵 X,并把这样的广义逆矩阵称为Moo re-Penrose广义逆矩阵,简称M-P广义逆,记为A+。由以上定义可知,对于一个可逆的方阵 A,其逆矩阵A-1显然满足以上4个矩阵方程,由此可知,M-P广义逆是通常的逆矩阵的概念对于不可逆矩阵的推广。

符号说明:设 A ∈Cm×n,则 A+∈Cm×n,

1)η(A)表示矩阵A的左右对折阵,τ(A)表示矩阵A的上下对折阵;

2)γx(A)表示矩阵 A上移 x行之后的矩阵,λx(A)表示矩阵 A左移x列之后的矩阵。于是,γ-x(A)就表示矩阵 A下移 x行之后的矩阵,λ-x(A)就表示矩阵A右移x列之后的矩阵,而且,γ-x(A)=γm-x(A),λ-x(A)=λn-x(A);

3)τi,j(A)表示矩阵 A的第i行与第j行交换之后的矩阵,ηi,j(A)表示矩阵A的第i列与第j列交换之后的矩阵,i＜j。

2 主要结果

性质1任何秩为 r的m×n矩阵A,它的M-P广义逆矩阵存在且唯一。

证明若rank(A)=0,则A为m ×n零矩阵,显然,n×m零矩阵满足M-P广义逆矩阵定义中的条件(1)～(4)。

若rank(A)＞0,对A作满秩分解:A=GH,其中G与 H分别是数域F上的秩为r的m×r和r×n矩阵,易知 G＊G与 H＊H均是r阶非奇异方阵,且(G＊G)-1G＊与 H＊(H H＊)-1分别是G与 H的 M-P 广 义 逆, 令 B = H＊(HH＊)-1(G＊G)-1G＊,可验证,B满足M-P广义逆矩阵定义中的条件(1)～ (4)。故B是A的M-P广义逆。

再证唯一性:设 C也是A的M-P广义逆,则

性质2对任意秩为 r的矩阵A,都有以下结论:

1)若 A可逆,则 A+=A-1;

2)(-A)+=-A+;

3)(A+)+=A;

4)(A＊)+=(A+)＊,(A′)+=(A+)′;

5)A=AA＊(A+)＊=(A+)＊A＊A;

6)A+=A+(A+)＊A＊=A＊(A+)＊A+;

7)(A＊A)+=A+(A+)＊;

8)A+=(A＊A)+A＊=A＊(AA＊)+

以上结论的证明由M-P广义逆矩阵的定义很容易验证得到,证明略。

性质3设矩阵A的M-P广义逆为A+,则η+(A)=τ(A+),τ+(A)= η(A+),并且,Aτ+(A)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A。

证明设 A ∈ Cm×n,则 A+∈ Cn×m,令 P=,则η(A)=AP,τ(A)=QA=,τ(A+)=PA+,η(A+)=A+Q, 且PP=In,P＊=P,QQ=Im,Q＊=Q。由于 AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)＊=AA+,(A+A)＊=A+A,则

故η+(A)=τ(A+)。

故τ+(A)η(A+)。

30直接验证易知 Aτ(A+)=η(A)A+,A+τ(A)=η(A+)A显然成立。

性质4设矩阵A∈Cm×n,其M-P广义逆为A+∈Cn×m,则(A)=λx(A+),λ(A)=γy(A+),其中1≤|x|≤m-1,1≤|y|≤n-1,x,y∈Z。

证明令则 γx(A) = PA,λx(A+)=A+Q,λy(A)=AR,γy(A+)=SA+,且QP=Im,Q＊=P,P＊=Q,RS=In,R＊=S,S＊+R 因此,有

性质5设矩阵A∈Cm×n,其M-P广义逆为A+∈Cn×m,则(A) =ηi,j(A+),η(A) =τi,j(A+),i＜j。

则τi,j(A)=PA,ηi,j(A+)=A+P,ηi,j(A)=AQ,τi,j(A+)=QA+且 PP=Im,OO=In,P＊=P,Q＊=Q。因此,有

该定理实际上是性质3和性质4的一种推广形式,因为任何一个矩阵的上下、左右对称阵和上下、左右平移阵均可由该矩阵经过若干次行与行交换、列与列交换而得到。性质5可以用一句简单的话概括为:已知矩阵的M-P广义逆为A+,则矩阵A的行与行、列与列作怎样的对换,其对换之后的矩阵的M-P广义逆就在A+的基础上作相应的列与列、行与行对换而得到。

性质6设则

证明由于

推论1设 m×n矩阵A的元素全部由0和k组成,且每行、每列最多只含有一个k,k≠0,则把矩阵A的转置阵A′中的所有元素k全部改为之后的矩阵即为矩阵的M-P广义逆矩阵。

证明由于这样的m×n矩阵A总可以通过若干次行与行交换、列与列交换变成形如的矩阵,因此,再由性质5和性质6即知命题成立。

[1] 彭晓珍.关于广义逆矩阵的原矩阵的唯一性[J].湖北汽车工业学院学报,2000(2):74-77.

[2] 褚庭有.广义逆的两个性质[J].齐齐哈尔大学学报,1997(1):54-56.

[3] 区诗德.Moore-Penrose广义逆矩阵的一些性质[J].广西师范学院学报:自然科学版,2001(2):19-22.

Some Properties of M-P Generalized Inverse Matrix

Fu Hongwei
(School of Adult Education,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

In this paper,we give some important properties of M-P generalized inverse matrix.

M-P generalized inverse matrix;associate matrix;full rank decomposition

O151.21

A

1671-2544(2010)增-0011-03

2010-03-31

付宏伟(1974— ),男,湖北孝昌人,孝感学院成人教育学院教师。

(责任编辑:邹礼平)