地球自转对抛体运动影响的数值分析

谢善娟

(宁德师范高等专科学校物理与电气工程系,福建宁德 352100)

抛体运动是日常生活中一种常见的运动现象,也是力学教材中经常讨论的典型问题.在考虑地球自转时,抛体除受重力作用外,还受科里奥利力作用.在一般的理论力学教材中[1],科里奥利力的效应多以自由落体为例进行讨论,有关文献[2-4]也对抛体运动作了分析.但在方法上通常都是使用传统的解析法,采用了近似处理.本文将借助数学软件MATLAB,利用数值计算的方法,求得精确、直观的结果,分析地球自转对抛体运动产生的影响.

1 抛体运动方程

1.1 运动微分方程

在考虑地球自转时,质量为 m的抛体,其动力学方程为：

其中ω为地球自转角速度,v是抛体的速度.以北半球纬度为 r的某点O为坐标原点,在地球上建立直角坐标系 O-xyz,x轴沿地面水平向南,y轴沿地面水平向东,z轴垂直地面指向天顶.于是可得(1)式在O-xyz坐标系内的投影方程为[1]为：

(2)式是二阶线性微分方程组,解析求解过程比较繁琐,可以将其变换为一阶线性微分方程组,然后利用MATLAB软件进行数值求解.

1.2 抛体运动轨迹

设在坐标原点 O处,以初速 v0、抛射角θ向正东抛出某物体,则初始条件为 t=0时,x=y=z=0,=0,=v0cosθ,=v0sinθ.取纬度 r=40°、v0=400 m/s、θ=30°,用MATLAB求解微分方程组 (3),绘制出忽略地球自转和考虑地球自转两种情况下的抛体运动轨迹图 (如图1所示).该图说明在考虑地球自转时,由于科里奥利力的作用,抛体运动发生了偏移,以下针对抛体运动特征进行具体分析.

2 抛体运动的偏移量分析

地球自转使抛体的落地点发生了偏移.偏移量的大小与纬度、抛射角和初始速度的大小有关.

图1 忽略地球自转和考虑地球自转的抛体运动轨迹

2.1 纬度对偏移量的影响

设 v0=500 m/s,分别取抛射角θ=50°和75°运行程序,可得到图2和图3.

图2 南北偏移量与纬度的关系

图3 东西偏移量与纬度的关系

图2给出了南北偏移量随纬度的变化曲线.从图2中可看出,在两极南北偏移最大,而在赤道南北偏移为零.并且往正东方向发射的抛体,在北半球其落地点南偏,在南半球则为北偏.

图3给出了东西偏移量随纬度的变化曲线.图3说明,往正东方向发射的抛体,其落地点可能出现东偏或西偏.这种偏移的结果相当于抛体的射程增大或减小.该效应在赤道最显著,而在两极为零.

2.2 抛射角对偏移量的影响

图4 南北偏移量与抛射角的关系

图5 东西偏移量与抛射角的关系

图4给出了南北偏移量随抛射角的变化曲线.从图中可看出,当抛射角θ≈0.95 rad时,即θ≈54°时,南偏值最大.该最大的南偏值和对应的抛射角也可以利用MATLAB编程精确求出.

图5给出了东西偏移量随抛射角的变化曲线.从图中可看出,当抛射角θ≈1.04 rad时,即θ≈60°时,东西偏移量为零;当θ＞60°时,存在西偏现象 (射程减小);当θ＜60°时,存在东偏现象 (射程增大).由图可知,在θ≈0.52rad时,即θ≈30°时,东偏现象最显著.该结果与文献 [2]理论分析的结果相同.

2.3 初始速度大小对偏移量的影响

表1对不同初始速度大小情况下,地球自转对抛体运动的影响进行了比较.从表1可以看出,随着发射速度的增大,抛体的南偏、东偏以及射高均增大,而且当初始速度较大时,偏移相当显著.这也说明了,当发射速度较大时,地球自转是一个必须考虑的因素.从表1还可以看出,地球自转使抛体的飞行时间增长了,但增长量很小.

表1 不同初速大小情况下地球自转对抛体运动的影响 (纬度40°,抛射角30°)

3 结论

(1)地球自转使抛体的运动轨迹发生偏移,这种现象在初始速度较大时,相当显著.

(2)抛体的南偏效应在两极最显著,在赤道为零.往正东方向发射的抛体,在北半球落地点南偏,在南半球落地点北偏.偏移量随抛射角的不同而变化,抛射角约54°时,偏移量最大.

(3)抛体的东偏效应在赤道最显著,在两极为零.往正东方向发射的抛体,东西偏移的结果将使射程增大或减小,当抛射角约为60°时,射程的净偏移为零;当抛射角大于60°时,射程减小 (西偏);抛射角小于60°时,射程增大 (东偏).且抛射角约为30°时,东偏量最大.

[1]周衍柏.理论力学教程：第2版 [M].北京：高等教育出版社,1986：254-258.

[2]吴永懋.考虑地球自转时抛体运动的偏移 [J].大学物理,1990,(2)：5-6.

[3]冷水根.关于抛射体偏移问题的商榷 [J].力学与实践,1998,(1)：46-47.

[4]李拓.自由落体和抛体偏离的另一种解法 [J].大学物理,2005,(8)：61-63.

[5]胡静,彭芳麟,管靖.理论力学计算机模拟 [M].北京：清华大学出版社,2002：136-139.

[6]张志涌.精通MATLAB6.5版 [M].北京：北京航空航天大学出版社,2003：247-249.