非线性微分多项式分担一个非零拟公共值的亚纯函数的唯一性*

李效敏,胡海燕

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

非线性微分多项式分担一个非零拟公共值的亚纯函数的唯一性*

李效敏,胡海燕

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

本文利用A.Banejee与S.Mukherjee的方法证明了一类非线性微分多项式具有一个2阶拟公共值的亚纯函数的唯一性定理,改进了方彩云与方明亮,I.Lahiri与Mandal,以及A.Banerjee等人的有关结果。

亚纯函数;公共值;微分多项式;唯一性

0 引言及主要结果

本文中出现的亚纯函数是指复平面内的亚纯函数。文中采用Nevanlinna理论的标准符号[1-3]。本文中出现的E表示线性测度有穷的正实数集合,并且每次出现不必相同。对非常数的亚纯函数h,用T(r,h)表示h的Nevanlinna特征函数,S(r,h)表示满足S(r,h)=o{T(r,h)}(r→∞,r|E)的量。

设f与g是2个非常数的亚纯函数,a是1个有限值。如果f-a与g-a的零点相同,并且每个零点的重数也相同,则称f与g CM分担a。如果f-a与g-a的零点相同,并且不计零点的重数,则称f与g IM分担a。如果1/f与1/g CM分担0,则称f与g CM分担∞。如果1/f与1/g IM分担0,则称f与g IM分担∞。设m为正整数或无穷,b∈C∪{∞}。以下用Em)(b,f)表示f的重数≤m的b-值点的集合,并且每个b-值点考虑相应的重数。用(b,f)表示Em)(b,f)的精简形式。如果E∞)(b,f)=E∞)(b,g),则f与g CM分担b。如果(b,f)=(b,g),则f与g IM分担b[4]。

定义1[5]设p是正整数,a∈C∪{∞}。用Np)(r,1/(f-a))表示f的重数不大于p的a-值点的计数函数,这里每个a-值点考虑相应的重数;用(r,1/(f-a))表示相应的精简计数函数;用N(p(r,1/(fa))表示f的重数不小于p的a-值点的计数函数,这里每个a-值点考虑相应的重数;用(r,1/(f-a))表示相应的精简计数函数。

定义2[6]设f与g是2个非常数的亚纯函数,m为正整数,a∈C∪{∞}且Em)(a,f)=Em)(a,g)。设z是f的1个a-值点,重数为μ(z,a,f)。用(r,1/(fa))表示|z|μ(z,a,g)≥m+1的f的a-值点的计数函数,这里每个a-值点考虑重数;用(r,1/(f-a))表示N(m+1L(r,1/(f-a))的精简形式;用N(m+1(r,f=a,g≠a)表示|z|

定义3[7]设f与g是2个非常数的亚纯函数,a∈C∪{∞}并且(a,f)=(a,g)。再设z∈C是f与g的1个公共a-值点,且重数为μ(z,a,f)。用NL(r,1/(f-a))表示|z|μ(z,a,g)的f的a-值点的计数函数;用(r,1/(f-a))表示NL(r,1/(f-a))的精简形式。类似地可以定义NL(r,1/(g-a))和(r,1/(g-a))。

1976年,杨重骏提出了下述问题。

问题1[8]如果2个非常数的整函数f与g CM分担0,f(n)和g(n)CM分担1,并且2δ(0,f)>1,这里n是1个非负整数,那么f与g将会有什么关系?

1990年,仪洪勋解决了问题1,证明了下述定理。定理1[9]设f与g是2个非常数的整函数。如果f与g CM分担0,f(n)与g(n)CM分担1,并且2δ(0,f)>1,这里n是1个非负整数,那么f(n)g(n)=1或f=g。

1997年,I.Lahiri提出了下述问题。

问题2[10]如果2个亚纯函数的非线性微分多项式CM分担1,将会有怎样的结果?

2001年,方明亮和魏宏回答了问题2,证明了下述结果。

定理2[11]设f与g是2个超越整函数,n≥11是1个整数。如果fn(f-1)f′和gn(g-1)g′CM分担1,那么f=g。

2002年,方彩云和方明亮改进了定理2,证明了下述定理。

定理3[12]设f与g是2个非常数的整函数,n≥9是1个整数。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

针对定理3,人们自然地提出下述问题。

问题3[6]如果定理3中的f与g是2个非常数的亚纯函数,将会出现什么结果?

2005年,I.Lahiri和N.M andal回答了问题3,证明了下述定理,从而改进了定理3。

定理4[13]设f与g是2个超越亚纯函数,并且,再设n≥17是1个整数。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

2007年,A.Banerjee改进了定理4并回答了问题3,证明了下述定理。

定理5[6]设f与g是2个非常数的亚纯函数,n是1个正整数,且满足,其中Θ(∞,f)+Θ(∞,g)>0。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

本文将改进定理5,证明下述结果。

定理6 设f与g是2个非常数的亚纯函数。如果E2)(1,fn(af2+bf+c)f′)=E2)(1,gn(ag2+bg+c)·g′),这里a≠0,b和c是复数并且|b|+|c|≠0,n是1个正整数,那么下述4种情形之一成立:

(i)若b≠0,c=0,并且Θ(∞,f)+Θ(∞,g)>则f=g。

(ii)若b≠0,c≠0,并且az2+bz+c=0有2个不同的根,f和g中之一是只有重极点的非整函数的亚纯函数,则f=g。

(iii)若b≠0,c≠0,并且az2+bz+c=0有2个相同的根,则f=g。

(iv)若b=0和c≠0,则f=g或f=-g。若n是1个偶数,则f=-g不成立。

1 几个引理

设F,G是2个非常数的亚纯函数,定义

设F和G IM分担1,以下用?N(1,1)(r,1/F)表示F-1和G-1的公共单零点的精简计数函数。

引理1[6]设F与G是2个非常数的亚纯函数,且满足E2)(1,F)=E2)(1,G),再设H由(1)式定义。如果H不恒等于0,那么,其中表示F与G在|z|<1内的重数相等且大于3的那些公共1-值点的精简计数函数。

引理2[6]设F与G是2个非常数的亚纯函数。如果E2)(1,F)=E2)(1,G),那么,其中N0(r,1/F′)表示是F′零点但不是F(F-1)的零点的计数函数,这里F′的每个零点考虑重数。

引理3[9]设f是1个非常数的亚纯函数,k是1个正整数。那么

引理4[14]设f是1个非常数的亚纯函数,再设这里an≠0,an-1,…,a1,a0是常数,那么T(r,P(f))=

引理5[15]设f与g是2个非常数的亚纯函数。那么

不恒等于α2,这里a,b,c是3个复数,且满足a≠0和是一个整数,α是不恒等于0,∞的亚纯函数,并且T(r,α)=S(r,f)。

引理6 设f与g是2个非常数的亚纯函数,再设

这里a,b,c是3个复数,且满足a≠0和|b|+|c|≠0,n>7是一个整数。如果

证明 由(2)可得

由引理4和(4)左边的等式可得

同理可证

由(5)和(6)可得

由引理4可得

同理可证

于是

以及

不失一般性,设存在1个集合IΑR+满足mes I=∞,使得

分以下3种情况讨论:

情形1 设B≠0,-1。如果A-B-1≠0,由(3)可得

由(4),(6),(13),引理2.3和第二基本定理可得

上式结合(7)-(13)可得

由此得n≤7,这与n>7矛盾。

如果A-B-1=0,则(3)可写为

由(14)可得

由(7),(11),(15)和第二基本定理可得T(r,G)≤

上式结合(11),(12)可得

由此得n≤3,这与n>7矛盾。

情形2 设B=-1,则(3)可写为

若A+1≠0,由(16)可得

由(17),类似于情形1中的方法可得n≤3,这与n>7矛盾。

如果A+1=0,则(3)可写为FG=1,即

但由引理5和条件n>7可知,fn(af2+bf+c)f′·gn(ag2+bg+c)g′不恒等于1,这与(18)矛盾。

情形3 设B=0。那么(3)可写为

如果A≠1,由(19)可得

以下类似于情形1中的方法可得n≤7,这与n>7矛盾。

如果A=1,则(19)可写为F=G,从而得到引理6的结论。

引理7 设f与g是2个非常数的亚纯函数,F1和G1由(2)定义。如果n≥5,那么由=可得F1=G1。引理8[15]设F1和G1的定义如(2)式,n≥3是1个整数,如果F1=G1,那么以下4种情形之一成立:(i)若b≠0,c=0且,则f=g。

(ii)若b≠0,c≠0,az2+bz+c=0有2个不同的根,且f,g其中之一是只有重极点的非整函数的亚纯函数,则f=g。

(iii)若b≠0,c≠0,az2+bz+c=0有2个相同的根,则f=g。

(iv)若b=0,c≠0则f=g或f=-g。若n是1个偶数,则f=-g不成立。

2 定理6的证明

设F和G的定义如(4)式,H的定义如(1)式。设H不恒等于0,则由引理1,引理2和引理3可得T(r,F)+T(r,G)≤

其中ε是任意小正数。由(10),(11),(21)与引理3可得(n+1){T(r,f)+T(r,g)}

其中ε为任意充分小的正数。

由(22)可得

这与已知条件n>15-5m in{Θ(∞,f),Θ(∞,g)}矛盾。因此H≡0,由此可得(3)。于是引理6可得F′1=,这里F1与G1由(2)定义。再由引理7可得F1=。于是由引理8可得定理6的结论。定理6证毕。

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On Uniqueness of Meromo rphic Functions Whose Nonlinear Differential Polynomials Have One Nonzero Pseudo Common Value

L IXiao-M in,HU Hai-Yan
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

By using the technique described by Banejee and M ukherjee,a theorem on uniquenessof meromorphic functions w hose nonlinear differential polynomials have one nonzero pseudo common value is p roved.This new result imp roves some p revious ones given by C.Y.Fang and M.L.Fang,I.Lahiri and M andal,A.Banerjee,and others.

meromorphic functions;shared values;differential polynomials;uniqueness

O174.52

A

1672-5174(2010)12-154-05

国家自然科学基金项目(10771121,40776006);国家自然科学基金中俄合作协定项目(10911120056);山东省自然科学基金项目

(Z2008A 01,ZR2009AM 008)资助

2009-07-14;

2010-02-03

李效敏(1967-),男,副教授。E-mail:xm li01267@gmail.com

AMS Subject Classification: 30D30

责任编辑 朱宝象