中学数学课程中函数概念的教学

杨　芳

摘要：函数是贯穿中学数学教学的一条主线，是学生感到最难学的内容之一。了解函数概念的演变过程及形成过程，为今后函教概念的教学提供借鉴。

关键词：演变：函数：教学

一、函数概念演变过程简述

函数这一概念是数学科学的一个基石，它几乎与数学自身同时产生，函数这一概念随数学发展至今经历了很多次的扩张。

莱布尼茨是第一个把“函数”一词用做数学术语的人，但是他没有给出具体的函数定义，只是用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如，切线，法线等的长度以及纵坐标等。这是最初的函数概念。

1718年，约翰·贝努利给出了“解析的函数概念”：函数是由任意变数和常数的任意形式所构成的量，这是对函数概念的第一次扩张。

19世纪，随着函数研究的进一步发展，法国数学家柯西给出的函数定义是：对于x的每一个值，若y有确定的值与之对应，则y叫做x的函数。这个定义没有强调函数的表达形式；德国数学家狄里克莱给出的函数定义是：对于某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值和它对应，y就叫做x的函数。这两种定义均是从几何方面来考虑的，所以又称为“几何的函数”，人们把这一次对函数的定义认为是函数概念的第二次扩张。

所谓传统的函数定义。也是人们普遍接受的是数学家黎曼给出的：函数是对x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，而不管建立x、y之间的对应方式如何，称y是x的函数。黎曼给出的函数定义是对函数概念的第三次扩张。

19世纪70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，重新从“集合”与“对应”的角度诠释了函数定义：给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从集合A到集合B的函数。

20世纪60年代以后，人们又给出了函数的“关系定义”：有序数对的集合叫做关系，即从集合A到集合B的关系R是笛卡尔积AB的子集，且称A为R的定义域，B为R的值域。美国教材中普遍采用这一定义。

二、函数概念的教学

1、注重函数概念的早期渗透

函数概念虽然是在初中八年级上册正式给出了“函数”的“变量说”定义，但是实际上我国的数学课程在小学阶段就已经开始有了渗透，例如小学课本中数的认识，图形数量找规律，数的计算，图形周长和面积，字母表示数，统计等章节都是对有关“变量”的体现，商不变的性质实际上是常函数的体现，正反比例体现的正是函数的思想。

进入中学，函数的体现更是比比皆是，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。例如：在代数式的值的教学中强化变量的意义，通过代数式的值与代数式中字母取值的之间的相互依赖关系。让学生感受到变量之间的相互联系；通过二元一次方程的学习，使学生进一步认识到两个量之间是相互关联的，体会两个变量之间的相互依存关系。

从小学到初中，我们已经依次学习了自然数，整数，有理数，无理数。实数等。数集就是数字的集合，可以是自然数，整数。有理数，无理数，实数或者是它们的一部分等等，而它们自身也是一个集合，所以通过数的概念的发展，学生就可以积累关于“集合”概念的初步思想。

学生理解函数不仅要理解常量、变最的概念，而且要理解“变化过程”和变量之间的关系，即如果一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也随之发生变化，那么就说这两个变量之间存在某种关系，我们把它称为函数表达的数量之间的对应关系。通过数轴和坐标的教学，可以渗透给学生关于“对应”概念的初步思想。

以上我们就可以看出，在学生还没有正式接触函数概念之前，中小学数学教材中就已经对函数有了不同程度的渗透。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的函数概念时。易于接受。

2、注重函数概念的形成过程

一个概念个体在课程中出现，要遵循人的认识过程的一般规律，在一定意义上说，这个概念的展现程序，应该是人类形成概念的历史程序在课程中的缩影。数学中基本概念的教学应该是阶段性的，也就是说数学基本概念的教学不是一次就可以完成的，函数概念的教学当然也不例外。

函数概念的形成过程可概括如下。

(1)辨别各种刺激模式

这些刺激模式可以是教师提供的有代表性的典型实例，也可以是学生自己在日常生活中的经验。但是不论上述哪种刺激，都必须通过比较，让学生在其知觉水平上对其进行分析、辨认，然后让学生根据其外部特征进行概括、总结。

例如，形成函数概念，因为函数概念本身就不好理解，又是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念，学生对其理解有困难是不言而喻的。所以，在讲授这部分内容时，教师应该先让学生辨认他们所熟悉的实例，像一个人的身高、体重、电话费、水电费、汽车出租费等都是时间的函数。

(2)分化出各种刺激模式的属性

要让学生更好地理解这些刺激模式的本质属性，就需要分化各种刺激模式的各个属性。

例如，一个人的身高，它是随着时间的变化而变化的，所以说人的身高是一个变化的量，当然除了这个属性之外，它还具有其它别的属性，人的身高有一个取值范围，所以它本身还是一个集合。同样，一个人的体重、电话费、水电费、汽车出租费等也都具有它们各自的属性。

(3)抽象出各个属性的共同属性

从分化出的各种刺激模式的属性中抽象出各个属性的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设。

例如，在前面所举的这些例子中，共同属性是：都是变世；都存在着某种对应关系；本身是一个集合；等等。这些共同的属性可假设为：①如果一个变量的取值发生了变化，另一个变量也随之发生变化，那么这两个变量之间应该存在某种函数关系；②存在两个集合，一个集合中的任意一个数，与另一个集合中的某一个数形成一一对应，那么这种对应关系应该是某种函数关系。

(4)检验假设，确认关键属性

在特定的情境中检验所提出的假设，变式是我们检验过程中常用的一种有效手段。

例如，在前面所举的这些例子中，通过变式可以发现，两个假设在各种变式中都会出现，因而可以确认为关键属性。

(5)概括，形成概念

验证了假设之后，把关键属性抽象出来，从中区分出有从属关系的关键假设，使新概念与已有认知结构中的相关观念分化，重新用语言概括成为概念的定义。

例如，在前面所举的这些例子中，提出的两种共同的关键属性假设并不存在从属关系，所以将函数定义为“在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个值，相应地就确定了一个值，那么我们称y是x的函数”；也可定义为“两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使一个集合中的任意一个数，与另一个集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称这种对应为一个函数”。

(6)推广共同关键属性

把新概念的共同关键属性推广到同类事物中，这既是对新概念的检验和修正，同时也是应用新概念的过程。也可以从中观察学生是否真正理解概念的本质特征。教师可以用概念的等值语言让学生进行判断和推理。

这个过程是概念形成的一个至关重要的步骤，因为它是新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立牢固的实质性联系的过程。

例如，函数的“关系定义”就是函数概念的等值语言，“有序数对的集合叫做关系，即从集合A到集合B的关系R是笛卡尔积A B的子集，且称A为R的定义域，B为R的值域。”

(7)用符号表示新概念

通过上述这些概念形成的步骤，学生对新概念的内涵应该有了比较全面的了解，包括一些具体的例子和概念的各种变式，也就说，学生对其外延和内涵都有了比较准确和全面的理解。这个时候就应该引进数学符号，注意要引导学生把符号与代表的实质内容联系起来。

在概念学习中，经常发生形式地掌握符号而不懂得符号本质涵义的情况，这将会影响学生知识的学习，进而导致错误的推理。

例如，在函数概念的教学时。我们一般用y=f(x)作为函数的一般表达形式，但是学生对于其中的x，y，f的意义不理解，经常会出现类似于f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，f(x1x2)=f(x1)f(x2)，的错误。

在利用概念形成方式进行函数概念教学时，教师应该要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤，不然学生很难全面正确地理解函数概念，容易造成他们对函数概念的片面、孤立甚至错误的理解。教师还要引导学生认清函数概念的内涵之后再进行函数概念的应用，引导他们在揭示概念背后的丰富内容的基础上形成新概念。

3、注重与高中函数知识的衔接

因为函数的知识、方法和思想是高中阶段数学学习的基础，所以在课程设计时还应当考虑知识的衔接和前后呼应。

我们都知道，初中教材采用的是函数定义的“变量说”，是用“变量”的观点来叙述函数的定义；而高中教材采用的是函数定义的“对应说”，是从“集合”，“映射”的角度重新诠释函数的意义，二者之间有着千丝万缕的联系。

映射是高中函数思想方法的核心观点，初中代数中很多概念都反映着这一思想方法。如：相反数是从实数集到实数集的映射；绝对值是从实数集到非负实数集的映射；几何中的各种变换，如对称变换、相似变换平移变换、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形集的映射等待。教师在教学中都应把这一思想渗透给学生，做好初、高中函数教学的衔接和过渡工作，以使学生更好地掌握好函数内容的知识体系。

另外，在中学数学课程中加强函数概念教学还可以给进一步在高等学校学习数学分析打下良好的基础。

总之，在中学加强函数的教学，对学生学习中学和大学数学课程都会起很大作用，并且也有利于培养学生的辩证思想。

(责任编辑：张华伟)