数学转换的思想方法

李峙维

数学是抽去事物的质去研究它们的空间形式和数量关系的相互转换,具体地说是研究数与数、形与形、数与形之间的转换,按照对立统一的关系实现转换。因此,可以说,数学在一定意义上是研究转换的学科,数学的精髓就是转换。

一、 数学的内在转换规律

数学的内在转换规律,实际上是对立面的相互转换。下面举例说明:

1. “+”与“-”:在代数和中统一起来了。

2. “×”与“÷”:对于每一个除法, a÷b=a× (1/b) (b≠0)。

3. 乘方与开方:在引进分数指数后,两者统一起来,这是幂的基本运算思想。

4. 指数与对数:指数与对数可以相互转换,指数的性质对应于对数的性质,对数的证明往往要转化为指数运算而推得。

5. 解三角形中,主要是利用正弦定理、余弦定理等使角的三角函数与边的代数关系(方程)相互转换。

6. “数”与“形”的相互转换:“数”一般是指函数三种表达式的解析式,“形”一般是指函数的图像表示。代数是研究“数”的学科,几何是研究“形”的学科,三角形则两者皆而有之。解析几何是用代数方法研究几何的一门学科,两者结合使几何研究取得了重大突破。代数与几何是对立的两个方面,两者在坐标系统一起来。

二、 概念是转换的源头,分类是转换的基础,知识的内在联系是转换的动力

数学知识都是以公理、定义为基础,证明后来所出现的一系列命题;公理、定义及定理是整个数学的支柱,倘若没有牢固的基础,数学这座大楼就无法盖高。

数学又是一门连贯性和系统性很强的学科,其前后知识的联系,可称为纵的联系;从不同的概念出发,可得不同的分支,它们之间的联系,可称为横的联系,这两种联系之间的关系是“经纬”关系。如复数,是从实数概念发展而来的,可看作纵的联系,但复数的三角形式使复数与三角和解析几何中极坐标之间出现了横的关系,显然,只有同时注意到了这两种联系,才有可能更透彻地理解复数。“数”与“形”中,立体几何、解析几何、代数、三角的相互转换,也是一种横的联系。由于这一转换使解题途径更宽广,数学中的综合题就是由代数、几何、三角这三门学科共同编织而成的。

分类法是科学研究的基本方法之一。它是对已有的对象或材料进行分析整理,按照某种特征将它们分门别类,从中找出规律,促使数学形式的转换。分类法是解题转换的一种非常重要的常用方法,在解题中的应用也十分广泛。如在代数中解排列组合问题时,常常要分类讨论;数系分类、函数性质与分类、分类法与反证法(包括归谬法)、分类法与抽屉原理、一元二次方程的判别式的分类与代数、解析几何的关系,尤其在解应用题中分类法是列方程的基础。

三、 掌握转换思想是提高解题能力的关键

应用转换思想帮助解题,其实质是如何创造条件,使已知向结论转换。常用方法如下:

1.分析法与综合法

分析法与综合法是解数学题的最基本的方法。分析法就是从结论(目标)出发,根据判定定理及其有关性质,把结论向已知转换;综合法是从已知条件出发,根据定义、定理、公理及性质定理等开拓新的已知,逐渐向目标转换。

2.数形结合法

数形结合促进已知向目标转换,它包含两个方面的内容:一是运用代数、三角知识,通过对数量关系的讨论,处理几何图形问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,解决数量问题。“数”和“形”常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以相互转换,“数”与“形”两者应取长补短。数形结合,不但是数学研究的需要,也是解题中的一种重要的思想方法,其常见形式有解析法、三角法、复数法、图解法等。

3.比法和派生法

人们在观察和思考某个问题时,总习惯于想到与其有一些相同属性的另一个较为熟悉的问题。解题也一样,具有某些相同属性的熟悉问题,常常有着某些基本相同的内在依据。如已知在情况甲下结论A正确,又知乙和B分别与甲和A相似,于是很自然地提出假设,在情况乙下结论B也正确。所谓“派生”,就是从一个主要事物的发展中分化出来,主要事物相当于树干,而派生出来的东西相当于树枝,只有懂得某些知识是由某部分知识“派生”而得,才能使知识融会贯通。

“类化”促使解题转换,“派生”促使数学知识融会贯通。

4. 演绎法和归纳法

人的认识过程通常是“由特殊到一般,再由一般到特殊”,归纳的演绎就是这一认识过程的两种思维推理形式,数学实际上又是一门演绎科学,演绎推理在数学中有着十分广泛的应用。数学的推理,一般都是演绎推理,因为对于每一个推理而言,它都分条件A和结论B,这里A与B是从一般规律而言,而每一道题B符合条件A的,只是特殊的问题。对于求证题,一般用的是演绎法,即从一般到特殊,对于探索题来说,往往需要有一个从特殊到一般转换的认识过程。因为遇到抽象且较为复杂的数学问题,这样从简单到繁,由易到难,由具体到抽象,是符合辩证唯物主义的认识论的;矛盾的普遍性必包含在矛盾的特殊性之中。在解题过程中,有时需要用特殊值来探索解题途径,通过赋值,往往达到事半功倍的奇效。

5.命题转换法

在解决数学问题时,如果所遇到的问题比较困难、比较复杂,这时我们往往把问题转换成若干个比原来问题来得简单、难度较低、易于解答的又与原问题等价的新命题,这就是命题的转换。其常见形式为:充要条件的传递、反证法或同一法等。

充要条件传递性用符号表示的定理形式为:如果A＜=＞C₁,C₁＜=＞C₂,C₂＜=＞C₃,……,C0＜=＞B那么A＜=＞B。一般地说,命题A<=>B的证明宜分两步,即A=＞B,B=＞A,但要看其中的证明是否比较简单,若不是很简便,则应利用充要条件的传递性,把命题A(或B)逐步转换。反证法是一种间接证法,如果直接证法比较困难,往往回避从正面直接正题,而转换为证明与之等价的逆否命题,正所谓“正难则反”。在一个问题的条件与结论都唯一存在,所述的数学对象也唯一的情况下,原命题和它的逆命题是等价的,同一法就是通过证明逆命题成立来证明原命题成立。同一性的局限性较大,通常只适用于符合同一原理的命题;反证法则普遍适用,对于能够用同一法证明的命题,一般都能用反证法证明,反证法和同一法都属于间接证法,都是通过命题的等价转换而取得的。