层次型矩阵

Ｍ．贝本多夫

用有限元方法求解椭圆型边值问题会形成大规模稠密性矩阵，目前处理这类矩阵的最有效框架是层次型矩阵方法。本书讲述的就是层次性矩阵的计算存储技术、如何建立具有对数级复杂性的矩阵算子逼近的有效方法，更重要的是书中还阐述了这些方法的理论背景。内容有椭圆型问题包括带有非光滑系数的偏微分算子的逼近理论、带有非局部核函数积分算子系数处理的自适应逼近理论，并从数值实验和实际应用方面对这些理论进行了补充说明。

全书共分4章。1.低秩矩阵和矩阵划分，主要内容有低秩矩阵、低秩矩阵的加法和乘法、满秩矩阵的低秩逼近、低秩矩阵的奇异值分解、低秩块矩阵的聚合、构造性低秩矩阵、矩阵划分的可容性条件、聚类树和聚类树构造、块聚类树；2.层次型矩阵，主要讲述了层次型矩阵集合、矩阵向量乘法、并行矩阵向量乘法、分块全局范数、加性层次型矩阵、粗层次型矩阵、乘性层次型矩阵、逆层次型矩阵、层次型矩阵的LU分解、层次型矩阵的QR分解、具有嵌套式聚类基的一致层次型矩阵、快速多极方法、如何利用层次型矩阵进行预处理；3.离散积分算子的逼近，主要讨论了有界积分公式、核函数的渐近光滑、退化核的逼近、通过Taylor展开逼近退化核、通过插值逼近退化核、矩阵逼近误差、自适应逼近算法、误差分析、行选择、整体复杂性、数值实验、自适应逼近的并行算法、几种自适应逼近技术、Chebyshev多项式逼近、最小二乘逼近、低精度逼近的预处理、Dirichlet问题、Neumann问题、混合边值问题；4.层次型矩阵在有限元离散中的应用，主要包含FE逼近矩阵的逆、带状矩阵的逆、逆矩阵逼近的代数方法、格林函数的退化逼近、离散算子逼近、Schur补矩阵、层次型LU分解、层次型矩阵LU分解的数值实验、2维和3维扩散问题、对流扩散问题、LU分解的嵌套式剖分、矩阵划分、Lit分解的并行逼近、用Broyden方法求解非线性问题、截断误差的影响、数值实验。

本书是从事有限元、计算数学、数值代数和相关领域的科研人员和研究生的有益读物。