高等数学中数形结合教学模式的探讨

胡永生

摘要:本文在举例分析了在高等数学的教学过程中运用数形结合的模式进行教学的优势,并以利用多项式函数近似表示正弦函数为例,探讨了如何在高等数学中应用动画的形式进行数形结合的教学方法,着重介绍了通过利用动画的形式自动生成函数f(x)及其幂级数展开式的前n项和函数Sn(x)的图形并进行比较的方法,使学生能够轻松有趣地理解函数展开为幂级数的意义及其应用。

关键词:高等数学数形结合教学优势

高校中的高等数学课程课时偏少,而教学的内容又多,这是目前普遍存在的问题,有的学校或教师采用的方法是难的内容尽量避开不讲,较难的内容尽量将问题简单化,这种不严谨不系统的教学过程无法使学生掌握数学的精髓,难以欣赏到数学中的美,使得学生的学习缺乏系统性,接受到的数学知识也是零散的,让学生感觉到数学是一大堆枯燥无味的定义、定理放在一起,无法使学生对数学这门学科产生浓厚的兴趣。我们认为教师在高等数学的教学中要尽可能利用先进的教学手段,巧妙地利用数与形的结合,做到全方位地让学生来感受数学带来的美与快乐,能够轻松有趣地学习高等数学,要引导学生进行更深层次的思考,只有这样才能够取得良好的教学效果。

一、数形结合有助于对概念的理解

高等数学中的许多概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述,由于这种描述高度抽象,初学者很难理解它的含意,往往是不加理解的死记硬背。教学中若从概念的几何背景人手,借助直观的几何图形引导和启发学生观察、分析,由具体逐步过渡到抽象,将有助于学生理解抽象的概念。例如,在讲解导数概念时,从介绍曲线的切线斜率人手,再通过介绍变速直线运动的瞬时速度的求法,最后归纳总结出:虽然曲线切线的斜率和变速直线运动的瞬时速度是两个截然不同的概念,但是通过分析都归结为同一形式的极限,于是抛开它们的几何或物理意义,找出它们的本质特征,将这种形式的极限抽象概括为导数。导数不仅可以求曲线的切线斜率和变速直线运动的瞬时速度,而且可以解决许多实际问题,如求变速直线运动的瞬时加速度、求非恒定电流问题中的电流强度、求比热等等,应用相当广泛。再如极限、连续、微分、定积分、二重积分等概念的引出,都应从几何背景人手。利用数形结合思想引出概念,不仅使学生看到概念的来龙去脉,加深了对概念的理解,而且能够在传授知识的同时影响学生的数学思想,使学生学会抽象与概括的科学思维方法,提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、数形结合有助于对定理的理解

高等数学中的有些重要定理比较抽象,理解起来也比较困难,但是如果利用数形结合思想,恰当的引出定理或对定理作出直观的几何解释,学生掌握起来就容易多了。例如,对于微分中值定理的教学,微分中值定理通常包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这些定理是微分学理论的重要部分,也是导数应用的“桥梁”,因而是微分学的重点之一。由于定理集中,论证的分量较重,学生学习往往感到困难。利用数形结合思想,恰当引出定理,进而揭示各定理之间的联系,有助于消除教学中这一难点。

三、数形结合有助于寻求解题途径

有些数学问题,仅局限于数或形方面的考虑,虽然能解决,但过于繁琐,甚至很困难,若根据问题的条件与结论的内在联系,既分析其代数式的含义,又揭示其几何意义,使数量关系与空间形式巧妙而和谐的结合起来,并充分利用这种结合,寻求解题途径,使问题得以简捷的解决。

例设,求的最小值。

分析:如果此题用二元函数求极值的方法计算十分繁难。注意到这是一个平方和的形式,从而联想到两点间的距离公式,设p(u,),Q(v,9/v),则w=,问题化归为求P、Q的距离的最小值。因为u2+()2=2,9v/v=9所以P、Q分别是半圆x2+y2=2(y≥0)和双曲线一支xy=9(x≥0)的点,即求半圆x2+y2=2(y≥0)上的点与双曲线xy=9(x≥0)上的点的最短距离,由圆与双曲线的性质可知,这个最短距离是:

故Wmin=8。

本题充分地利用了代数式的几何意义,数形结合,使解法简捷、明快,具有创新性。

四、数形结合教学模式的应用举例

通过图形来展示函数中量与量之间的关系仍然是较好的教学形式,随着科技的进步与发展,数学中的图形由静止的发展成了变化的、由平面的发展成了立体的;一个非常好的动态画面再加上五彩缤纷颜色,不光给学生美的感受,还让学生轻松愉快地学到很多较难理解数学知识。

在高等数学教学中,将函数展开为幂级数是高等数学课程教学中的一个重点和难点,学生对于泰勒(Taylor)中值定理和函数展开成幂级数往往难以理解。在传统的教学手段中,我们很难结合函数的图形让学生能够更加直观地理解泰勒公式和函数的幂级数展开式,因此教师在讲授这部分内容时是很费劲的,学生学习起来也很吃力。学生们在学习这部分内容时常常对以下的问题感到困惑: