悟性与数学思维能力的培养

孙蒋山

摘 要： 数学悟性是学生对数学知识的直观感知能力，是数学素养的重要组成部分，是与高中数学的逻辑思维能力相辅相成的。本文就悟性的特点、悟性与数学思维能力的关系，以及如何培养高中学生的数学直觉思维能力进行了阐述。

关键词： 高中数学 悟性 思维能力

高中数学新课标要求培养学生的数学思维能力，其中思维能力包括理性思维能力与非理性思维能力两种，而非理性思维就是学生对数学的悟性。数学悟性是学生对数学知识的直观感知能力，是数学素养的重要组成部分，是与高中数学的逻辑思维能力相辅相成的。本文就悟性的特点、悟性与数学思维能力的关系，以及如何培养高中学生的数学直觉思维能力进行了阐述。

1.数学悟性的特点

数学悟性就是对数学对象及解决问题的“直观领悟、直觉判断、逻辑简约、灵感顿悟”。

1.1直观领悟。高中数学的概念、性质、定理、公式多数是由逻辑推理得到的，它具有理论上的严谨性，体现了数学的逻辑思维结构，从而培养了学生的逻辑思维能力。德国数学家克莱因说：“一个数学主题，只有达到直观上的显然才能说理解到家了。”因此教师在教学中要使中学生对一些数学知识能达到“直观上的显然”，利用学生的生活体验和直觉思维理解数学概念，用自己的语言解读数学语言，从而发展学生的数学悟性。

1.2直觉判断。直觉判断在高中数学中也称为“合情推理”，是学生在新知识、新技能的学习过程中的大胆假设、合理演算、细心推理的过程。在高中数学解题中直觉判断是必要的思维途径。如解题策略的制定、结论的探求、解题中途点的选取、未知元的选择、参变量的确定、突破点的选择、分类讨论界点的确定，等等，大多数是依靠直觉判断，再运用逻辑推理进行论证。

1.3逻辑简约。学生在思维活动中，并不是一环扣一环地、完整地、详细地、按部就班地进行的，而总是力求以简略的即“压缩”的结构来思维，这样就使思维简缩到极限形式。学生在解题过程中往往体现出解题步骤的跳跃性，表面好像是解题步骤不完整、推理不严谨，其实完全正确。实际上学生的思维过程并无缺失，推理并没有漏洞，只是反映出学生的敏捷、深刻的思维品质和强烈的求简意识，它是以结果为追崇目标的思维模式。

1.4灵感顿悟。灵感是人们瞬间思维的即闪过程，它是长期对问题思索过程中思维积累的效果。灵感是在处理复杂问题过程中仍然以正常思维作为前提，当解决问题的条件成熟时，人脑在特殊外因的诱导下，智能系统加快了对固有信息处理能力，从而增强了思维的联结，获得了正确的解决问题的方法。感性顿悟则是动态中的灵感，其发明性智能系统在人有意识的思维过程中自动发挥其自主信息处理功能表现。灵感顿悟是创造性思维的典型表现形式。因此在数学教学中，教师要引导学生养成善思、勤思的习惯，将一个个“现象”转化为创造的“机遇”，要善于用学生闪光的智慧来滋补自己的大脑。

2.悟性与数学思维能力的关系

高中数学中的命题都要通过严格的逻辑论证才能被称为定理，定理的证明过程就是培养学生的逻辑思维能力，但定理的理解只有在“直觉理解、想通悟透”的前提下，才能真正被学生接受。数学的解题过程具有逻辑的严谨性，要合理推理，步步有据。但在解题前的分析过程中，运用简约思维，思路常常呈现一种跳跃、跨越的方式，从而可将长长的思维链条大大压缩，使解题在瞬间达到要求的结论。简约思维不仅打破了思维逻辑的严谨性，而且不拘泥于每步的完善，从而进一步提高了学生的数学探索性思维能力与创新思维能力。在知识进展、解决问题时的合情推理、预见猜想在数学教学中往往起到无可替代的作用，在数学解题过程中，思维的每一步都要依靠严格推理的支持，这样将会把学生的思维程序格式化，学生永远是接受知识的容器，学生的探索进取、开拓创新将裹足不前。

3.培养学生的数学直觉思维能力

思维是智力的核心，而数学思维直接影响到人的思维的发展。在数学中直觉思维是产生数学灵感的必要途径。因此，教师在教学中首先必须加强学生的基础知识的教学，提高学生的直觉分析能力。因为数学的基本知识和基本方法是培养直觉分析能力的基础，而扎实的基础又为直觉分析能力提供了源泉。在数学教学中教师应注意把数学知识所揭示的本质规律提炼到方法的高度，这样有助于学生对知识和方法的真正理解和掌握，也为直觉分析能力打下牢固的基础。

其次，运用直观形象图形教学，图形直观容易形成清晰的视觉效果，可以表达较多的具体思维，所以在学生学习一个抽象的概念时，教师把最本质的属性用恰当的图示，就会产生意想不到的效果。如在学习集合运算时，常配以文氏图说明，通过数形结合使学生较深刻地掌握集合运算的概念，这要比仅给出抽象符号的定义好得多。在数学的解题中，由数思形，可以开辟多角度、多层次的解题思维途径，因为通过图形的观察可增强学生的想象力，促使学生产生接近于实际的直觉猜想，提高直觉感知能力。

再次，在开放性问题的教学中，应紧紧抓住问题的不变因素与问题的可变因素，由不变条件直观的想象可能产生的结论，由可变因素结论又发生了何种变化。学生可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，而且答案具有发散性，有利于直觉思维能力的培养。

第四，在教学中培养学生迅速抓住问题实质，妥善地引导学生看问题要分清主次，善于由局部特征揭示问题的本质属性，从而培养学生数学直觉思维能力。

最后在教学中要设计变式练习，平时解题中鼓励学生寻求“一题多解”，归纳“多题一解”，鼓励学生敢于向书本、教师质疑，挑战各种问题。然后在解题训练中加强学生的直觉思维，在解题训练中让学生发挥他们的直觉思维。这就要求教师要转变教学观念，把主动权还给学生。对某些数学问题，若能联想一些形式相同的、思考方法类似的、结构类似的熟悉问题或常规问题，通过迁移就会找到解决问题的思路。常见的联想方式有接近联想、相似联想和类比联想。所以一般在复习课或习题课时，要合理地设计题组练习题，引导学生多角度、多层次地进行联想，做到举一反三，触类旁通，进一步地提高学生的直觉思维能力。

总之，学生的数学悟性将直接影响着他们的数学接受能力，培养学生的直观思维能力是提高学生的数学悟性的必要途径，因此，在数学教学中教师必须注重学生的直观思维能力的培养，激发学生的数学悟性，提高学生的数学成绩。