让数学的教与学成为发展学生创造力的舞台

编者按：

2009年1月，本刊隆重推出“名师讲堂”栏目。本栏目将云集北京市特级教师，展现其先进的教育理念，再现其多彩的课堂教学实践。这些优秀的教师在自己的工作岗位上刻苦钻研、锐意改革、探索创新，积累了丰富的教育理论与实践经验。希望通过阅读优秀教师的文章，我们可以分享他们的教育思考，感悟他们的教育智慧，获得有效的教育教学经验。

张思明，北京大学附属中学数学特级教师，任教33年，是全国自学成材的先进典型。《普通高中数学课程标准(实验)》研制组核心成员。从1993年起开始进行中学数学建模教学模式的研究，后扩充为数学建模、数学实验、数学探究、主题阅读这样四种课题学习的形式。出版了《中学数学建模教学的实践与探索》、《数学课题学习的实践与探索》、《张思明与课题学习》、《用心做教育》、《课题学习的教学设计和实践案例》、《高中数学新课程与学生学习》等多本有关课题学习的专著，在杂志上发表相关论文50余篇，形成了有中国特色的课题学习的相关理论。两次获得北京市基础教育教学成果一等奖，曾被评为“北京市十大杰出青年”，当选全市青年教师的“师德之星”。荣获“全国优秀教师”、“全国模范教师”、“全国十佳教师”等称号，以及“柏宁顿孺子牛金球奖”、“苏步青数学教育奖”一等奖等奖励。享受国务院政府特殊津贴。

一、 我们的数学教学应该给学生什么

基础教育阶段数学教学的目的是什么? 我们要教给学生什么? 学生能从我们的数学教学中得到什么? 这些看似有明确答案的问题曾是困扰我很久的难题。对这些问题的思考，首先源于我15年前的一次偶然的调查，调查的内容是希望学生写一写他们心目中的数学和数学问题是什么？学生们用幽默的口吻给了我这样的回答：“数学是一些居心叵测的成年人为青年学生挖的陷阱！”另一个学生写道：“数学问题是一些仅仅出现在课本和试卷上的，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西。”看到学生写出这样的文字，我开始还觉得挺新奇有趣，可是仔细一想，就感到一阵心酸。我们这些用尽心血努力教学的老师在学生心目中无非就是一些挖坑布雷的高手，而数学也成为教师惩治学生的工具，与学生的个人发展并无太大关系。这不能不让我们反思，我们怎样才能把数学的真谛给学生？怎样才能发挥数学教育应有的功能？

反思、审视我们自己的教学，常常会发现我们不自觉地把知识点的传授当成了教学的唯一中心，把解题训练当成了掌握知识的唯一路径，把考试的分数当成了评价学生能力的唯一尺度，把增加学习强度、延长学习时间当成了提高成绩的唯一手段，把考上高一级学校订立为我们努力的唯一目标。这样做的后果就使得我们的学生离数学越来越远，从数学得到的东西越来越少。

只有唤醒能促进学生自主发展的内动力，学生的学习才有可能成为一种有效的学习。内动力，可能来源于学生对数学问题或数学学科的兴趣，因为有了兴趣就不再觉得学习是一种负担；可能来源于学生对学习成功的体验，因为只有通过自身的情感体验，才有可能树立起学会、学好的信心；也可能来源于学生不服输的个性或对学习本身的认同；还可能来源于对某位教师的喜爱。无论学生的内动力是由哪些部分组成的，内动力对于学生学习的积极意义是不容置疑的。内动力不是与生俱来的，教师的培养、挖掘和保护是其得以养成和增强的关键因素。教师在教学中所展现出的学科内在魅力，为学生减少不良的心理负担，改造不利于学生主动、生动、自然发展的学习“生态环境”，营造能调动主体需求和内心渴望的学习氛围，让更多的学生能得到鼓励、激励和成功的体验，才有可能使学生变厌学为可学、能学、乐学、善学，以达到能终身向学。

我们的数学教学有夯实双基、注重能力、讲究落实的优良传统，这是我们绝对不能丢的东西，没有基础，发展就是空话。但我们对“基础”和“能力”的认识也要发展。现在义务阶段数学课程标准的修改稿明确提出要把“双基”变为“四基”，在基本知识和基本技能的基础上加上基本数学思想方法和基本数学活动经验。基本数学活动经验就是学生在学数学、做数学、用数学的实践过程中形成的。广泛的数学能力不仅包括理解运用数学概念和方法，组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算，还应包括：会检索阅读相应的数学书刊文献；会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析和处理信息；能从模糊的实际课题中形成相应的数学问题；会选择有效的解决问题的方法、工具和策略；会用数学的符号和语言进行正确的表达和交流。同时，尊重事实、实事求是的求实精神，勇于怀疑、自我否定的批判精神，勇于创新、超越现状的创造精神等在内的数学文化素养的培养也应是中学数学教育关注的目标。其中，蕴含在各种具体的数学能力之中的创造力更是中国社会亟需培养的重要能力，因为一个民族的创造力关乎整个国家的可持续发展。

培养创新精神的前提是发展问题意识，有问题意识才能有创新。我们的学生在解题方面是有优势的。你只要形成问题，我们的学生就能上手做。但是怎么形成问题？怎么把一些问题数学化？这正是我们学生欠缺的。不少课堂教学常常比较注意知识点，较少注意数学知识的源与流，学生们不知道知识的来源，也不知能做什么用，只是在记、背、模仿教师归纳好的题型。这样的课堂教学，是不利于培养学生的问题意识的。很多教师习惯于下课的时候问学生：“还有问题吗?”如果学生回答没有问题了，教师往往认为这节课很成功。但是我认为一节好的数学课，不能只是开头是问题，最后把问题解决了就达到目的了。应该是从头到尾都是问题，离开课堂的时候要带出更多的问题、更深层次的问题。让学生无论是在家里学习，还是在学校学习，能不断地处于一种问题环境中，诱发他自己的问题“场”。教师都希望把问题讲没了，讲得清清楚楚的，这种教学在学生双基形成阶段是必要的，但这是远远不够的。培养理性精神和问题意识，正是我们要让学生形成的数学文化素养。

其实我们讲的“创造”对中学生来说，并不是一定要追求惊人的创新成果，而是帮助学生养成独立思考的习惯和意识，培养一种精神。数学由于自身的特色使其在培养学生创造力方面有着独特的优势。教师首先要善于从生活中挖掘数学问题，进而创造性地设计教学环节，在良好的问题环境中激发学生勇于表达自己的想法和疑问，根据每个学生的具体情况不断地给予反馈和指导，在师生互动中最终实现学生的自我突破和发展。我们的教学还应该特别注重知识与实践的结合，这种结合能使学生更全面地理解知识，更自主地把握知识，发现更多的问题。生活是创造的源泉，教学则是把知识与生活联系在一起的重要纽带，是这纽带的制造者和传送者。

二、 从数学建模到课题学习——激发学生走向创造的想法和做法

（一）数学建模教学

21世纪是信息时代，所需人才应有一定的接收、分析、合成、传递、加工、应用信息的能力。知识的记忆是暂时的，思想与能力的获得却是永远的。通过数学教育所熏陶与培养的人才，在观察问题的全面性与深刻性、计划策略的主导性与严密性、处理方法的条理性与简洁性、反思总结的批判性与概括性、前景预测的前瞻性与多样性等方面是独具特色的，这一点已被发现与公认，这是数学教育的社会意义所在。怎样把一个生产、生活中的实际问题，经过适当地刻画、加工、抽象表达成一个数学问题，进而选择合适的、正确的数学方法来求解，这是应用数学知识解决实际问题的关键所在，也就是常说的数学建模。数学建模的过程有很强的生成性，在这个过程中，会充分给予学生主动学习、张扬个性、展示创造能力的机会。

现在的数学建模教学，课堂更加开放，与课堂教学的联系更加紧密。如在高一学函数时，可以让学生找生活中的函数关系，并试着应用它解决一个小问题。刚开始学生可能会想，函数在书上，家里面哪儿有函数啊? 教师可以举一个简单的例子，坐在汽车里你就能看到5个函数，可以观察仪表，温度计是一个，气压表是一个，油量表是一个，速度表是一个，转速表是一个，每个表就是一个函数，谁的函数? 是运行时刻的函数。学生受到启发，很快找到了很多的函数，比方说自己家里用的煤气量和烧水时间、和开关旋转角度的关系；一个具体的手机充电时间与使用时间的关系，一个具体的冰箱设置的内室温度和耗电量之间的关系等。也有学生找出的不是函数关系，如看电视时间和视力、和学习成绩；身高和体重；收入和花费等。这些问题就成为了课堂内讨论的素材。而找出、证明、应用函数关系就成为了学生数学建模活动的出发点。

做数学建模和课题学习已经有十几年的历程了，最初我是受到国外的一本中学建模教材的触动。当我把书中的案例讲授完了之后，我的心中隐约有一丝的不安与担忧，对以后的建模教育感到片刻的茫然。我决定自己去寻找，主动去发现。当我带着需求思考的时候，我发觉自己的身边充满了教学案例，从商场物品的包装到广州白云宾馆的电梯；从小小复印店中的复印纸到苏州河上一座座不同的桥梁；从关沟中绿颜色的花到电影院的声场位置；从书店中书本的装订到火车上三角形的钥匙；从植物的全息到飞机上的螺旋桨……每一处都留给我们最好的问题。生活中是不缺少问题的，缺少的是发现。发现问题是一个过程，问题的设计是一门科学，在经历了一个个不够严谨的问题之后，我深刻感到这也是一种积累。

多年来，我和学生们在问题中学习，在问题中进步，在问题的延伸中去探索，在探索中去养成科学的精神与品质。十几年如一日，不仅学生得到了很大的提高，我自己的问题意识和数学素养也得到了提升。认定目标之后，专心坚持去做往往是成功的最后一把钥匙。

（二）数学建模的推广

现在我们已经将数学建模推广成包括数学实验、数学探究、数学主题阅读、数学“微科研”等形式的数学课题学习。

数学实验贴近生活。如让学生去测试市场上电子词典的实际词汇量(这是一个简单的统计实验)，验证它们产品的广告是否为虚假广告。要求学生设置恰当的实验方案，并能对自己的结论做出合理的解释。

数学实践充满乐趣。初中学生可以“学几何做跳棋”。画跳棋盘有大量的等分圆周、等分线段和画平行线的操作。可以想象，如果在作业里让学生画18个等分线段、画45条平行线，那是多么枯燥无味的事。我们把它变成一个制作挑战——你会画一个跳棋盘吗？你会做6色棋子吗？学生们就会不知疲倦地做出一个个有个性的跳棋，所有的作图都不知不觉地完成了。

数学主题阅读，这也是数学课题学习发展的一个新的方向。学生从初中到高中过渡的阶段，碰到的最大的困难是自己不会阅读数学书，缺乏必要的阅读技巧和方法。受英语阅读和语文阅读精读、泛读分类的启发，我们就在高一教学中专门加入了数学课本的阅读指导。让学生先进行“遮盖式的阅读”，碰到不认识的数学名词，停下来先自己试着给一个定义，再接着往下看。比方说看到“等差数列”，先不管它是什么意思，自己给一个定义，比如学生给出的定义为“等差数列就是差相等的数列”，在继续阅读的过程中，发现与课本上的定义不一致，对比分析后逐渐认识到自己的理解与数学概念的偏差。通过思考两者的差别，逐渐掌握数学概念最本质的东西。过去的自由阅读及其教师指导下的数学阅读，就没有这个犯错误的过程，教师总是力求学生少犯错误。但是“错误”，对于学生的学习而言是非常重要的资源，是学生在自然状态下体验知识生成的一个必须要经历的过程。数学阅读最本质的东西是要提出问题来，这也是发展学生问题意识的要求。我们对学生是否读懂了数学材料的评价方式是看学生提出问题的层次：能提出“什么是”这种问题是第一层次的；“为什么是”这种问题是第二层次的；“怎么会提到这个问题”是第三层次的。这种数学阅读可以扩展到课堂教学中对教材的处理方式上。我尝试把数学阅读也作为一种课堂的教学模式，每节课的前15分钟让学生自己看，自己做阅读笔记。刚开始操作的时候，教师可以把新名词写在黑板上：新名词的意思是什么，把新概念全部符号化，让学生养成数学阅读的习惯。然后在阅读的基础上自己提出问题，大家一起分析问题、解决问题，把课堂变成学生探究的过程，最终的目的是要告诉学生如何去自己学习，这是数学教育的价值所在。

教师应改变一些固有的观念，如对于教学效率的理解。我们的课堂，教师“讲”的效率一定是最高的吗？一些教师认为做课题没有效率，比如让学生测一个建筑物的高度，要是讲数学原理，在课上10分钟就讲清楚了，但是要是让学生自己测，那要用多少时间? 教学任务能完成吗? 其实到了测量现场一看，你就会发现我们的学生理论和实际距离有多大，书本之外要学的东西欠多少，更不用说对测量原理的理解和掌握，工具的制作和选择，测量误差的控制，小组成员如何分工合作等，这些东西是教不出来的，经验是要在过程中形成的。怎样进行小结、怎样向别人学习、怎样提出问题、怎样通过合作学习来扬长避短，这些经验对学生今后的发展，或对高考复习都是重要的。希望通过我们的教学探索，引导学生改变读死书、死读书的学习方式，激发学生学习的热情，逐步培养问题意识和创新精神，为国家和民族的创造力奠基。

感悟和建议 ● ● ●

●落实“四基”，提高教学效率。

除了关注学生，还要提高我们自身的数学素质和教育素质。我们常常容易把提高专业水平的重点放在钻研教材上，放在把握教材要求的数学内容上。这常常出现误区，特别是过去的教学经验时常会给我们一些负向的干扰。比如我们常常习惯用近年较难的高考题的要求来代替我们的教学要求，容易在解题技巧和“通性通法”的选择时出现偏差，我们的教学惯性和教材的发展、变化方向也不尽一致。这就需要我们关注数学的发展、注意整体把握教材。如果可能可以多参加一些大学、进修学校的讨论班，学术交流活动，多和数学家对话，多看几本不同版本的教材，多思考、多提问、多实践、多积累，多了解课程的变化和产生这些变化的原因，主动将自己所学的数学知识经常“回炉”。

●除了关注学生的发展，教师也要关注自己的发展。

我问过不少教师，他们认为教师发展的主要途径是提高学历、是继续教育、是多听课、多上评优课、是多做高考题、当解题高手、是不断钻研教材……这些都有道理。但每一个人是不同的，发展的路径也会有差异，好教师应该是有个性的，不是一个模子里刻出来的，扬长可能比改短更重要。

教师对教学的态度会映射成学生对学习的态度，教师在教的过程中也在实现你自己的生活，你期待这种生活是有情趣的，你就会不断地更新自己的知识，不断地迎接挑战，不断地去做事情，做新的事情，不断地去影响学生。我希望我们把最平凡的教学，与学生的终身发展、与国家和民族的创造力奠基这样的目标结合起来，用心去探索，用心去实践，就会发现它绝对是不平凡的，能给我们和学生每天带来收获的欣喜和创造的感动，它值得我们去认真做一辈子。□

（作者单位：北京大学附属中学）

编辑 王宇华