几何画板轨迹功能在解析几何探究性学习中的应用

杨丽萍　张廷琦

摘要 在建构主义理论的指导下，运用几何画板轨迹功能开展探究性学习，可以充分发挥学生的主体作用，培养学生自主学习和探索创新的能力。

关键词 几何画板；轨迹；解析几何；探究性学习

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1671-489X（2009）04-0096-02

探索动点的运动规律是解析几何教学的重点、难点。由于中学生的逻辑思维能力较差，往往很难从已知条件中发现动点的相互联系和运动规律。几何画板中的动画、追踪、轨迹等功能，弥补了传统教学的不足，可以让学生在动态的研究中启发直觉思维，很多数学问题可以及时得到验证。在建构主义理论的指导下，研究运用几何画板轨迹功能开展探究性学习，设计相应的课件并进行应用。

1 运用几何画板开展探究性学习的理论基础

建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用[1]。

从建构主义出发，数学不是独立的、绝对可靠的、天衣无缝的真理，它是一种经验或拟经验的活动。数学发展的历史表明，每一个重要的数学概念的形成和发展，其中都有丰富的经历。数学研究和数学学习是一个思想实验或“准实验”，要在投入者的亲身实践和体验的过程中进行设计。学生的思维不一定真实地重演了人类对轨迹探索的全过程，但确确实实通过实验、观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等思维活动，在探索中学习数学，可以培养学生学习数学的兴趣。

2 运用几何画板开展探究性学习的优势

几何画板不同于其他绘图工具的突出特点，在于几何图形在运动时能动态保持几何关系，在图形变化的过程中，发现恒定不变的几何规律[2]。运用几何画板可以把概念的形成过程暴露出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化或不变。它可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态地显现在屏幕上，而且这个过程可以根据需要进行控制。几何画板是进行探索、验证的好帮手，是创设“情景”的极好工具。运用几何画板开展探究性学习有4个方面的优势。

2.1 容易激发学生提出问题通过研究、探索不断产生新的问题，已解决的问题又成为新问题的起点，从而引发在更深层次的层面进行研究、发现、解决问题，最终达到数学问题的彻底解决。

2.2 使学生真正成为学习的主人学生能够通过对数学知识的学习，理解几何画板的运用，从中不断进行猜想、论证并得出结论，从而不断增强研究数学的积极态度。教师的角色也由课堂教学的主宰转变为教学活动的组织者、指导者、参与者和研究者。

2.3 使问题的开放性增强运用几何画板有效地拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题和解决问题的能力。运用几何画板开展探究性学习有两个显著的特征：1）“活”，表现为学生的学习积极性、主动性有明显的增强。学生往往会迸发出智慧的火花；2）“动”，表现为让学生真正的动手操作、观察、研究、思考。

2.4 提供丰富的变换功能包括平移、旋转、缩放、镜像等图形变换功能。几何画板还能对动态图形进行“跟踪”，并能显示跟踪的“轨迹”，帮助学生充分理解图形变换的规律，为平面解析几何中的轨迹教学提供很好的工具。可以把几何画板看成是一块“动态的黑板”。几何画板的这种特性有助于学生在图形变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所做不到的，真正体现了计算机的优势[3]。

3 运用几何画板轨迹功能开展探究性学习的实验

运用几何画板开展探究性学习要遵循“问题—研究—交流—反思”的认知规律。运用几何画板开展探究性学习主要有教师引导式、学生自主研究式、小组合作研究式等具体模式。

数学学习不应是一个被动吸收知识、记忆、反复练习强化的过程。一个有意义的学习过程，是学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决问题，同化新知识并建构新的认知结构的过程。所有的新知识只有通过学生再创造的活动，使其纳入原有的认知结构中，才可能成为有效的知识。只有这样，学生获得的才是真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。几何画板提供了一个十分理想的“做数学”的环境，完全可以运用它来做数学实验。下面以一道人人皆知的解析几何题为例，研究如何运用几何画板的轨迹功能开展探究性学习。

B是半径为r的定圆A内的一定点，M是圆上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与半径交点为P，求P的轨迹。

如图1所示，P的轨迹显然是一个椭圆，这是因为 。

实验1 放弃“E是线段BM的中点”这一条件，奇妙的现象出现了：当E到M的距离小于点E到B的距离时，点P的轨迹是“鸭蛋”形（图2）。

实验2 用鼠标缓缓拖动点E向B移动，当E到M的距离大于点E到B的距离时，点P的轨迹成了“导弹”形（图3）。

实验3 继续下去，把线段BM换成直线，使点E在MB的延长线上，点P的轨迹变成了“肾脏形”（图4）[4]。

4 结束语

运用几何画板开展探究性学习，其着眼点就是改变学生的学习方式，即改变学生在应试教育模式下所形成的偏重记忆、模仿，以接受教师的知识灌输为主的单一的学习方式，创设一种有助于探究性学习的情景和途径，建构一种有利于学生终身发展的学习模式。但由于几何画板软件比较灵活、具有开放性，学生往往会沉迷于对几何画板的研究，而忽略对数学问题的研究、解决。教师应告诉学生几何画板只是一种辅助学习的工具，对数学问题的研究、解决才是学习的核心任务，千万不要舍本逐末。

参考文献

[1]何克抗.教学系统设计[M].北京:北京师范大学出版社,2002

[2]方其桂.几何画板4：课件制作方法与技巧[M].北京:人民邮电出版社,2004

[3]屈清明,季久峰.几何画板数学课件制作范例教程[M].北京:人民邮电出版社,2004

[4]陶维林.用几何画板教平面解析几何[M].北京:清华大学出版社,2005