“三数”问题常见错解剖析

皇甫军

平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但它们描述的角度和所表达的意义并不一样.正因为如此，同学们在计算平均数、中位数、众数的相关问题时，容易出现这样或那样的错误.现结合实例对常见错解加以剖析，希望引起同学们的注意.

例1在一次数学测试中，某班25名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分.求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分）.

错解：平均成绩为==84（分）.

剖析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式.当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数计算公式计算.

正确解法：平均成绩为=≈84.08（分）.

例2若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，则3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数为.

错解：数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数仍为2.

剖析：设原数据x1，x2，x3，…，x的平均数为.直接代入平均数公式计算，可知新数据mx1+k，mx2+k，mx3+k，…，mx+k的平均数为m+k.

正确解法：数据3x1-2，3x２-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数为3×2-2=4.

例3 求一组数据7，9，5，3，2，4，9，2，7，8的中位数.

错解：由于该组数据正中间的数是2，4，所以中位数为=3.

剖析：根据中位数的定义知，在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列数据.然后观察数据的个数，若数据的个数为奇数，则最中间的就是中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数即为中位数.错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断.

正确解法：先将这组数据按从小到大顺序排列：2，2，3，4，5，7，7，8，

9，9.正中间有两个数，分别是5和7，而它们的平均数是=6，所以此组数据的中位数是6.

例4一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，求x的值.

错解：由于平均数为，而中位数为=7，所以=7，解得x=9.

剖析：错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的.事实上，x的大小可分三种情况：①x≤5；②57.从而可知本题的中位数是不确定的，要分类讨论.

正确解法：①当x≤5时，中位数为6，此时=6，解得x=5；

②当5

③当x>7时，中位数为7，此时=7，解得x=9.

综上可知，x=5或x=9.

例5某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数（如表1）.

（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.

（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260，这个定额是否合理？为什么？

错解：（1）计算可知：平均数为260.中位数为240.众数为240.

（2）合理. 因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，体现了这组数据的集中趋势.

剖析：（1）题解答正确.（2）题解得不对，原因在于，每月能完成260件的人一共是4人，还有11人不能达到此定额.尽管260是平均数，但若将其作为生产定额，不利于调动多数工人的积极性.

若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240件，比较合理，因为240既是中位数，又是众数，大多数人都能完成生产定额，有利于调动多数工人的积极性.解略.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。