《图形的平移与旋转》复习全攻略

陈路飞

一、教材解读

1． 平移

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小.

理解这个概念应注意以下两点：

（1）平移是指平面图形在同一平面内的变换．

（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离．

经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等．

“对应点所连的线段平行且相等”，这个性质可作为平移作图的依据．

2． 旋转

旋转是指由一个图形绕着一个定点沿某种方向旋转一定角度后形成另一个图形．旋转后，直线仍然变成直线，线段变成和原来线段相等的线段，平行直线仍为平行直线，并且旋转后的图形与原图形全等．

运用旋转变换的关键在于选好旋转中心和旋转角．

旋转变换在解题中的应用主要有以下两个方面：

（1）在题设条件与结论间联系不易建立或条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变换铺路架桥．

（2）图形错综复杂，图形中等量关系较多，可通过旋转变换，移动部分图形，让相等的部分有所联系，使题中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．

二、常见考点透视

1． 平移概念及其特征

例1 如图1，有一条小船，若把小船平移，使得点A平移到点B．

（1）请你在图中画出平移后的小船；

（2）若该小船先从点A航行到岸边L上的点P处，再航行到点B，如果要求航程最短，试在图中画出点P的位置．

解析：（1）平移后的小船如图2所示；

（2）如图2，作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，则点P即为所求．

评注：平移的最显著特征就是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．

2． 旋转的概念及其特征

例2 如图3所示，把一个直角三角板ABC绕着30°角的顶点B顺时针方向旋转，得到△EBD.点C、B、E在同一直线上．

（1）三角板旋转了多少度？

（2）连接CD，试判断△CBD的形状.

（3）求∠BDC．

解析：（1）由∠ABC =∠DBE = 30°，则∠CBD=180°－30°=150°．

故三角板旋转了150°．

（2）根据旋转的性质， 则BC=BD．

所以，△CBD是等腰三角形．

（3）由（1）、（2）知，△CBD是等腰三角形，∠CBD=150°．

所以，∠BDC =（180°－150°）= 15°．

评注：要注意平移与旋转的区别和联系．

3． 简单的图案设计

例3 （1）如图4，在方格纸中（每个小方格都是边长为1个单位的正方形），如何通过平移或旋转两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C？（对于平移变换要求写出平移的方向和距离；对于旋转变换要求写出旋转中心、旋转方向和旋转角度）

（2）图5是某设计师设计的图案的一部分，请运用旋转变换的方法，在方格纸中将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形.将得到的图形涂上合适的阴影，你会得到一个美丽的图案.你来试一试吧！

解析：（1）由图形A得到图形B： 图形A向上平移4个单位后得到图形B.由图形B得到图形C： 先将图形B向右平移4个单位后，以点P2为旋转中心，顺时针旋转90°，即得图形C．

（2）运用旋转变换的方法，按照要求进行作图，如图6所示．

4． 平移与旋转性质的应用

例4 数学课上，老师先让同学们观察图7，然后问：“它绕着圆心旋转多少度后可与它自身重合？”甲同学说是45°；乙同学说是60°；丙同学说是90°；丁同学说是135°．以上四位同学的回答中，错误的是（）.

Ａ． 甲Ｂ． 乙Ｃ． 丙Ｄ． 丁

解析：分析图7，一个圆被分成8个小部分，故最少旋转=45°就能与它自身重合.同时，旋转45°的倍数也能重合.于是可知，四位同学的回答中，只有乙同学的回答错误，故选B．

评注：此类问题，只要分析出图形被平均分成了几个部分，然后用部分数除周角，即可确定旋转的最小角度了．

例5 在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B+∠C=90° ，AB=4 cm，CD=3 cm．求BC-AD的值．

解析：如图8，将CD平移，到AE的位置， 由平移的性质可知：EC=AD，AE=CD=3 cm，∠AEB=∠C．

因为 ∠B+∠C=90°，所以∠B+∠AEB=90°．

所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°．

由勾股定理，得BE===5（cm）．

所以BC-AD=BE=5 cm．

评注：平移前后对应点的连线平行且相等，对应线段平行且相等，这些都是很重要的性质．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。