《勾股定理》复习指导

作者简介何炳均，1986年毕业于南京师范大学数学系，中学数学高级教师，江苏省特级教师，南京市学科带头人，南京市中数会副秘书长，南京市课改专家组成员，南京市兼职教研员，南京市高级教师评委，南京市优秀青年教师评委，南京市学科带头人评委.

1998年参加了《中学数学实验教材》和教参的修订编写工作，2003年参加了人民教育出版社新初中教材教师用书的编写工作.先后在各级各类杂志上发表十多篇专业论文，主编或参编三十多本教学辅导用书，主持或参加了三个省级以上课题的研究.曾多次参加南京市中考数学命题和江苏省数学竞赛命题工作.

同学们都知道,勾股定理是一个非常重要的定理.它不仅对以后的数学学习很重要,而且应用也很广泛.所以学完这一章之后,我们应当及时复习.

一､要点回顾

1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a､b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

2. 利用勾股定理可以在数轴上表示出像 ､ ､等实数,这也说明实数与数轴上的点是一一对应的.

3. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a､b､c,并且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

二､考点透视

本章的主要考点:利用勾股定理求直角三角形的边长和面积,利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,利用勾股定理及其逆定理解决实际问题,利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.

例1 如图1,所有的“基本”四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,正方形B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为().

A.cmB. 4 cmC.cmD. 3 cm

分析:图中七个正方形是以三个直角三角形的三边为边向外作出来的,因此,只要重复使用勾股定理就能得出答案.

解:设正方形D的边长为x cm,则正方形①､②､③的面积分别为(单位:cm2)52+x2､62+52､102.

根据勾股定理,得 (52+x2)+(62+52)=102.

解得x= .故选 A.

点评:在求直角三角形的边长时,经常利用勾股定理列方程求解.本题是教材上勾股图的拓展,图形则是美丽的勾股树的一部分,而解题过程实际上是利用了探索勾股定理时发现的结论,即以两直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.还可以沿A､B､C､D继续向外延伸,但勾股树的最“外”一层正方形面积的和都等于③的面积.

例2 如图2所示,圆柱体中底面圆的半径是,高为2.若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路程是多少?(结果保留根号)

分析:要求在立体图形侧面上爬行的最短路程,往往要将立体图形的侧面展开.

解:圆柱的侧面展开图是长方形(如图3),线段AC的长度就是小虫爬行的最短路程.

根据题意,BC=2,AB=×2π×=2.

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=2.

因此,小虫爬行的最短路程为 2.

点评:这是一道以立体图形为背景的实际探究问题,解题的关键是将立体图形转化为平面图形.注意AB的长不是底面圆的周长.

例3 如图4,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形的面积.

分析:如图4,过点E作EG⊥AB于点G.在Rt△EFG中,只要求出GF的长,就可以利用勾股定理求出EF,进而求出正方形的面积.

解:根据题意知AF=FC.设BF=x,则FC=AF=9-x.

在Rt△BCF中,由勾股定理得32+x2=(9-x)2.

解得x=4,所以AF=5.

同理可求(在Rt△D′EC中)DE=4.

所以GF=5-4=1. EF2=EG2+GF2=32+12=10.

因此,以折痕EF为边长的正方形的面积为10.

点评:折叠问题是学习中的一个难点.解这类问题,关键要抓住轴对称的性质,找出相等的边及角,再利用勾股定理解决问题.

三､错误剖析

例4 已知直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长是.

错解:由于三角形的两边长为3､4,根据勾股定理,第三边的长为=5.

错误分析:产生错误的原因是将3和4都看成两条直角边的长了.因题目没有明确3和4都是直角边的长,故应该分情况讨论.

正解:因为4>3,要分4是直角边长和斜边长两种情况讨论.

当4是直角边长时,第三边的长为=5;

当4是斜边长时,第三边的长为=.

因此,第三边的长为5或.

例5 Rt△ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,求BC.

错解:如图5,在Rt△ABD中,

BD===6.

在Rt△ACD中,

CD===15.

所以BC=BD+CD=21.

错误分析:本题没有给出图形.上解由于考虑问题不全面,漏掉了△ABC是钝角三角形的情形.

正解:AD在三角形内部时,由上解知BC=21.

当AD在三角形外部时,如图6,同理可算出BD=6,CD=15,则

BC=CD-BD=9.

所以BC的长为21或9.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。