将探究进行到底

孟　坤

日常生活中，我们经常要数数.数数并不难，但要在复杂的图形中及情境下数数，有时并非易事，往往需要细心观察、分析、比较，并采用分类计数、化繁为简等方法.

一、确定直线的条数

例1平面上有A，B，C，D四个点，过其中的每两个点画直线，一共可画出几条直线？

分析：平面上四个点的位置关系不确定，可把这四个点的位置关系分为三类.

解：（1）四个点在同一条直线上时，如图1，可以画1条直线；

（2）四个点中有三个点在同一条直线上时，如图2，可以画4条直线；

（3）四个点中的任何三个点都不在同一条直线上时，如图3，可以画6条直线.

评注：分类讨论是解答数学问题常用的思想方法，同时也是一种解题策略.分类时必须按照同一标准进行，保证合理性，做到不重复不遗漏.

变式题：过平面上2 008个点中的任意两点，最多能作出多少条直线？

分析：本题与例1的区别是：本题存在一个隐含条件，即有“最多”二字，其含义是2 008个点中的任意三个点都不在同一条直线上，否则直线条数就不是最多的.

解法一：采用“由少及多”的方法探究.

当平面上有2个点时，过两点最多能作出1条直线；

当平面上有3个点时，过其中的每两点最多能作出3条直线，即3=1+2；

当平面上有4个点时，过其中的每两点最多能作出6条直线，即6=1+2+3；

当平面上有5个点时，过其中的每两点最多能作出10条直线，即10=1+2+3+4；

……

考察点的个数和直线的条数，从中寻找出规律.

故当平面上有2 008个点时，过其中的每两点最多能作出直线的条数为：

1+2+3+…+2 007=×2 007×（1+2 007）=2 015 028.

评注：对有些规律探究型问题，若直接从所要求解的问题出发，往往无从下手，则可从较为简单的情形开始探究，采用“由少及多”即由特殊到一般的方法，逐步过渡到复杂的情形，并从中总结出规律.

解法二：利用分类计数法探究.

若把这2 008个点记作A1，A2，A3，…，A2 007，A2 008，由分析知任意三个点都不在同一条直线上，所以存在以下情形：过点A1与其余2 007个点可作直线的条数为2 007；除点A1外，过点A2与其余2 006个点可作直线的条数为2 006；除点A1，A2外，过点A3与其余2 005个点可作直线的条数为2 005……除点A1，A2，…，A2 006外，过点A2 007与A2 008可作直线的条数为1.

综上可知，过平面上2 008个点中的任意两点，最多能作出的直线的条数为：

2 007+2 006+2 005+…+3+2+1=2 015 028.

评注：运用分类计数法的策略解决问题，需具备分类思想和探究能力、归纳能力及类比推理能力.

推广：过平面上n个点（n≥2）中的任意两点作直线，最多能作出直线的条数为（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=n（n-1）.

请读者朋友利用分类计数法探究：

（1）平面上有3条直线，请指出这3条直线的交点个数.

（2）已知平面上有2 008条直线两两相交，其中无任何三条直线相交于一点，这些直线相交的点共有多少个？

（3）平面上有n（n≥2）条不同的直线两两相交，且无任何三条直线相交于一点，这些直线相交的点共有多少个？

二、确定平面分成的部分个数

例2阅读下面的对话，并回答问题.

小刚和小红在做一道数学题：“在平面上有3条直线，可以将平面分成几个部分？”

小刚说：“我已经得到了答案，如图4，它可将平面分成4个部分.”

小红说：“由于题目中没有具体指出平面上三条直线的位置关系，因此应先确定它们的位置关系，这才是解决本题的关键.我的答案是：如图5①，三条直线都不相交，它们将平面分成4个部分；如图5②，一条直线与两条平行直线相交，它们将平面分成6个部分；如图5③，三条直线交于一点，它们将平面分成6个部分；如图5④，三条直线两两相交，它们将平面分成7个部分.”

问题：（1）小刚与小红的答案谁的正确？

（2）现在老师又提出了下面一个问题：如果要使这个问题有唯一答案，应再追加什么条件？

解：（1）小红的答案正确.

（2）这是一道结论开放型问题，答案不唯一，可追加不同的条件.例如：①三条直线相交于一点时，把平面分成几个部分？②三条直线最多把平面分成几个部分？③三条直线至少把平面分成几个部分？

评注：在解决数学问题时，要注意多角度考虑.平时学习时要学会提出问题，因为提出问题比解决问题更重要.

请读者朋友利用“由少及多”的方法探究：（1）在平面上有2 008条直线，最多可以将平面分成几个部分？

（2）在平面上有n条直线，最多可以将平面分成几个部分？

现在就练：1．春节期间，有10个好友互相打电话问候，则他们共打了个电话.

2．若8个球队进行单循环比赛，则共需要进行场比赛.

参考答案：1．452.28

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。