函数与方程的思想在解题中的应用

罗建宇

函数关系是变量与变量之间一种特殊的对应、映射与变换，方程是从算术方法到代数方法的过程中寻找等量关系的一种质的飞跃.函数与方程思想贯穿整个高中数学内容，在各知识中蕴涵着深刻的内涵，它是高中数学最基本的却又是最重要的思想方法之一.

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，方程思想是指从分析问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)来使问题获解.函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点研究数学对象，抽象其数量特征，以建立函数关系.很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备深刻、独特的思维品质，才能构造出函数模型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的.本文例析函数与方程思想在解题中的应用.

一、函数与方程思想在数列中的应用

数列的通项公式或前n项和公式可看作定义域为正整数集的函数，用函数观点去处理数列问题十分重要.用方程思想处理数列问题，就是将原问题转化为待定字母的确定，而这些字母的确定又通过方程(组)的研究来完成.

例1 若在数列{a璶}中，a1=15，以后各项由a﹏+1=a璶-23确定，则{a璶}的前 项之和最大.

解析：由题意知，{a璶}是以15为首项，以-23为公差的等差数列，故S璶=15n+n(n-1)2•(-23)=-13(n-23)2+5293，当n=23时，S璶最大，故答案填23.

也可由a璶=-23n+473得知a璶是n的单调递减函数，所以仅有前若干连续项为正数，它们的和为S璶的最大值，由a璶≥0,a﹏+1<0得n=23.

二、函数与方程思想在三角中的应用

例2 已知△ABC三内角A，B，C的大小成等差数列，且玹an獳玹an獵=2+3,又知顶点C为对应边c上的高等于43，求△ABC的三边a,b,c及三个内角.

解析：由题设玹an獳玹an獵=2+3联想到△ABC中的恒等式玹an獳+玹an獴+玹an獵=玹an獳玹an獴玹an獵，于是有玹an獳+玹an獵=玹an獴•(玹an獳玹an獵-1)，又A，B，C的大小成等差数列，故B=π3,所以玹an獳+玹an獵=3(1+3).

则玹an獳,玹an獵是方程x2-(3+3)x+2+3=0的两根，不妨令A

由此得：a=8,b=46,c=43+4.

评注：本题逆用韦达定理构造一元二次方程，解出角的三角函数值从而求得相应的角与边的大小.

三、函数与方程思想在不等式中的应用

函数、方程与不等式之间有着密不可分的联系，在不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题建立函数模型，用函数思想分析，解决问题.

例3 求证不等式：x1-2瑇

证明：令f(x)=x1-2瑇-x2(x≠0)，

由f(-x)=-x1-2-x+x2=-x(2瑇-1)2瑇-1+-x2瑇-1+x2=x1-2瑇-x2=f(x),所以f(x)=x1-2瑇-x2是偶函数.

当x>0时，2瑇>20，即1-2瑇<0，可知ゝ(x)<0;

当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)<0,

故当x≠0时，f(x)=x1-2瑇-x2<0，

即x1-2瑇

评注：本题运用函数奇偶性证明不等式，说明在用函数方法证明不等式时，应注意充分利用函数性质.

四、函数与方程思想在解析几何中的应用

解析几何即用代数的方法研究几何问题，其中的曲线解析式看作方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得以解决.对于曲线上动点问题，其在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参数之间构成函数关系.上述思想方法在解析几何中经常被使用.

例4 设双曲线C：x2a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，且㏄A=512㏄B.求a的值.

解析：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2-y2=1,

x+y=1有两个不同的实数解.消去y并整理得

(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①

所以1-a2≠0，

4a4+8a2(1-a2)>0.解得0

双曲线的离心率e=1+a2a=1a+1.

∵062且e≠2,

即离心率e的取值范围为(62,2)∪(2,+∞).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),

∵㏄A=512㏄B,∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1).由此得x1=512x2.

由于x1、x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2.消去x2，得-2a21-a2=28960,由a>0，所以a=1713.

五、函数与方程思想在立体几何中的应用

立体几何中有关线段长、角度、面积及体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

例5 已知正四面体ABCD，设其边长为a，几何中心为O，求∠AOB的大小.

解析：由题意，取△BCD的中心H，连AH，则AH通过点O且AH⊥面BCD，故AH⊥HB，如图所示，由正四面体ABCD边长为a，

则AB=a，底面△BCD为正三角形，H为其中心，∴BH=33•a，由∠AHB=90°,故△AHB为直角三角形，则AH=63a，O为正四面体几何中心，设AO=BO=x，由OH2+BH2=OB2，得(AH-x)2+BH2=x2,即(63a-x)2+(33a)2=x2，解得x=64a.

在△AOB中由余弦定理知

玞os∠AOB=AO2+OB2-AB22AO•OB

=(64a)2+(64a)2-a22•64a•64a=-13,

所以∠AOB=玜rccos(-13)=π-玜rccos13.

六、函数与方程思想在二项式定理中的应用

函数f(x)=(a+bx)琻(n∈N*)与二项式定理密切相关，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题.

例6 设f(x)=(1+x)琺+(1+x)琻(m,n∈N*)展开式中x的系数和为19，求f(x)中x2项系数的最小值.

解析：由题意m+n=19，即m=19-n，则f(x)中x2项系数为C2璵+C2璶=m(m-1)2+n(n-1)2=(n-192)2+3234,由n∈N*，故n=9或n=10时，f(x)中x2项系数取最小值，最小值是81.

评注：通过二项展开式的通项公式，将x与x2项的系数表示成m,n的关系式，进而将x2项的系数转化成m或n的二次函数，求出定义域为正整数集时的最小值.

七、函数与方程思想在概率中的应用

函数与方程思想也是解决概率问题的基本思想，结合题意，引入参变量，建立目标函数或适当的方程，利用函数与方程的性质可将问题解决.

例7 某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生n名(3≤n≤9)，现从学习小组中选出3人参加一项调查活动，若至少有一名女生选中的概率为f(n),求f(n)┆玬ax.

解析：由题意f(n)=1-C3璶C310=1-1720n(n-1)(n-2),3≤n≤9,n∈N*,设g(x)=1-1720x(x-1)(x-2),3≤x≤9，则g′(x)=

-1720［3(x-1)2-1］,由3≤x≤9，有g′(x)<0，因此g(x)在［3，9］上单调递减，故ゝ(n)┆玬ax=f(3)=119120.

评注：建立满足题意的目标函数后，利用函数的研究方法即可将问题解决.f(n)的定义域内是一些孤立的点，直接求导数则无意义，因此构造相同的连续函数，对函数进行研究后进而得到原问题的答案.

八、函数与方程思想在多元问题中的应用

面对含二元及二元以上的多元未知问题时往往会令我们束手无策，但方程思想为我们指明了一条通往成功的光明大道.

例8 已知x+y+z=0,xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值.

解析：由条件x+y+z=0,xyz=2知，x,y,z三者中必定两负一正，不妨设x<0,y<0,z>0,M=|x|+|y|+|z|，则M=-x-y+z=-(x+y+z)+2z=2z，因为x+y=

-z,xy=2z，所以x,y可看作t2+zt+2z=0的两根，其判别式△=z2-8z≥0，又z>0，可得z≥2，故M=|x|+|y|+|z|≥4，即其最小值为4.

点评：本题题量不大，但包含的知识点不少，其中有符号问题，绝对值问题，消元问题等，在已知两数的和与积时，一般构造一元二次方程来解决(类似于例2)，本题题设是等量问题，而结论却是不等式问题，因而利用判别式是很好的桥梁.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”