技巧的误区

汤建锋

数学解题技巧是数学的灵魂，它既体现了数学的灵活多变，又培养了学生思维的创造性.然而，技巧有时却是一把双刃剑，许多同学使用不当，反而落入技巧的陷阱.本文结合几个案例来谈谈使用技巧的误区，以供大家参考.

一、走下神坛的形

数形结合是重要的数学思想，也是分析问题，解决问题的有力工具，由于它的直观、快捷，许多同学对它青睐有加，“言必形，形必果”，是很多人的解题信条，然而，形真的那么神吗?

例1 (2006年陕西卷)已知函数f(x)=ax²+2ax+4(0

(A)f(x1)>f(x2) (B)f(x1)

(C)f(x1)=f(x2)

(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定

分析：许多同学看到此题马上想到数形结合，f(x)的对称轴为x=-1，作出函数图像后却发现由于a是变量，无法准确判断x1,x2与-1的位置关系，迫于无奈只好选D，然而我们若从数入手，直接作差f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)(x2+x1+2)=a(x2-x1)(3-a),答案一目了然，选A.

例2 函数f(x)=14x²,若存在实数t，使当x∈［1,m］(m>1)时，f(x+t)≤x恒成立，求m的取值范围.

分析：由f(x+t)≤x，得14(x+t)2≤x，即x²+(2t-4)x+t2≤0，x∈［1,m］(m>1)时恒成立，构造函数g(x)=x²+(2t-4)x+t2，如图1，则

g(1)=t2+2t-3≤0,

g(m)=m2+(2t-4)m+t2≤0，分析到此处，由于变量太多，大多数同学在此卡住，仅少数同学求出-3≤t≤1,再通过对称轴x=2-t∈［1，5］，结合g(x)图像勉强猜出1

正解：由14(x+t)2≤x，可得|x+t|≤2x，即-x-2x≤t≤-x+2x，x∈［1,m］时恒成立，则［-x-2x］玬ax≤t≤［-x+2x］玬in,-3≤t≤-(m-1)2+1,

∴-(m-1)2+1≥-3,∴1

评注：尺有所长，寸有所短，任何一种方法，技巧都有其局限性.本题由于变量多，函数图像位置不定，当直观静止的图形运动变化起来，许多同学就无所适从了，既然如此，我们不妨换个角度，抛开形的束缚直接从数入手反而会柳暗花明又一春.

二、平平淡淡才是真

许多同学在解题时重技巧轻计算，奉奇思妙解为“阳春白雪”，视常规解法为“下里巴人”，结果往往在“阳春白雪”前碰壁，欲速则不达.

例3 (07全国卷Ⅰ理)设函数f(x)=ex-e-x.若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.

分析：不等式恒成立问题主要有两种方法：构造新函数或分离参数法.构造法往往要对参数分类讨论，计算量大，所以大多数同学喜欢简洁明了运算少的分离参数法.

解：由题意当x=0时，不等式成立；当x>0时，可得a≤ex-e-x獂，即a≤［ex-e-x獂］玬in,设g(x)=ex-e-x獂,得g′(x)=(x-1)ex+(x+1)e-x獂²，令g′(x)=0,无法求出方程的根，故极值也无法求出.做到此处，只能“突然死亡”，功亏一篑.

正解：令g(x)=f(x)-ax，则g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,(玦)若a≤2，当x>0时，g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上为增函数，所以x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax.

(玦i)若a>2，方程g′(x)=0的正根为x1=玪n玜+a2-42,此时，若x∈(0,x1)，则g′(x)<0，故g(x)在该区间为减函数.所以，x∈(0,x1)时，g(x)

评注：在技巧碰壁时，蓦然回首，才发现被忽视的却是最有效的，繁琐的往往是最简单的.

三、华山不止一条道

灵活多变的解题技巧有时也会转化为定势.对任何一种技巧的强化，必然会加深解题时固定的思维倾向，使我们不假思索地进入它所设定的路径和圈套，一条道走到黑而浑然不觉.

例4 x>0,y>0，x+y+1=xy，求2x+y的最小值.

错解：由xy=x+y+1≥2xy+1，得xy≥1+2，所以2x+y≥22xy≥22+4.

这是作业中大多数同学的答案，我觉得很奇怪，因为在基本不等式的运用中多次强调“相等”的重要性，按道理不可能犯这样低级的错误，问了几个同学，他们说：我们也知道这方法不对，本来也不会这样做的，因为看到条件中的x+y+1=xy，很容易想起逆代法，对等式两边同除以xy，得1x+1y+1xy=1,∴2x+y=(1x+1y+1xy)(2x+y)=3+yx+2xy+2y+1x，结果发现无法进行下去，迫于无奈才用了第一种方法.

原来如此，许多同学看到等式中有x+y,xy很容易联想到逆代法，却没有发现式中多了常数1，正是不起眼的“1”使同学们原来顺畅的思维阻塞，束手无策.

正解：由x+y+1=xy，得y=x+1x-1(x>1),∴2x+y=2x+x+1x-1=2(x-1)+2x-1+3≥7.

评注：世易时移，变法宜矣 ，在解题时经常会遇到一些形似而质异的问题，若仍然生搬硬套则解题技巧反而会转化为思维定势，使解题者落入技巧的陷阱.

总之，任何事物都有其两面性，解题技巧也不例外，它有时是一座桥，可以让我们顺利渡过问题之河，有时却象一堵墙，阻挡我们前进的步伐.因此，我们在重视它的同时应保持清醒的认识，以免步入技巧的误区.