一个不等式的再讨论

丁胜利

文［1］建立了如下的不等式

定理(［1］) 若a,b是正数，则

ab+12﹟a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12•|a-b| (1)，并提出了如下的

猜测 若a,b是正数，则

ab≥a2+b22-2-12|a-b| (2)

本文指出猜测(2)是不成立的，并用直观的方法推广不等式(1)的右端，即建立如下的

定理 若a,b是正数，则

2-2•a2+b2≥a+b2+2-12|a-b|≥a2+b22 (3)

证明：不等式(3)等价于确定

类似的，不等式(2)等价于

aba2+b2+2-12|a-ba2+b2|-12≥0.(6)

利用(5)中的变换，(6)式左端转化为

玞osθ玸inθ+2-12|玞osθ-玸inθ|-12

=玸in2θ2+2-121-玸inθ-12

=12t+2-121-t-12△g(t),0

例如：取a=104,b=1,这时，ab-a2+b22+2-12|a-b|=104-108+12+2-12|104-1|<100-7071+2500<0.

参考文献

［1］宋庆.两个优雅的双边不等式.中学数学研究，2008(1).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”