两个基本不等式加强猜想的否定与修正

杨志明

宋庆先生等在文［1］得到了基本不等式如下的加强：

定理1 若a,b,c是正数，则ab+12|a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12|a-b| (1)

3abc+13(|a-b|+|b-c|+|c-a|)≥a+b+c3≥a2+b2+c23-3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (2)

进而提出如下猜测：

若a,b,c是正数，则ab≥a2+b22-2-12|a-b| (3)

3abc≥a2+b2+c23- 3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (4)

经探讨发现，(3)、(4)式均不成立.例如取a=1,b=14，(3)式的左边-右边=1×14-12+(14)22+2-12|1-14|=12-348+3(2-1)8=32+1-348<3×1.5+1-5.88<0.故(3)式不成立.

例如取a=1,b=8,c=27，(4)式的左边-右边=31×8×27-11+82+2723+3-16•(|1-8|+|8-27|+|27-1|)=6-23823+26(3-1)3=-8+2382-2633<-8+48-463<0.故(4)式不成立.

经探讨发现，(3)、(4)式可修正为

定理2 若a,b,c是正数，则

ab≥a2+b22-22|a-b| (5)

3abc≥a2+b2+c23-66(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (6)

证明：先证明不等式(5).令a=x,b=y,则(5)式等价于2xy+|x²-y2|≥x4+y4(7),不妨设x≥y，则(7)式等价于2xy+x²-y2≥x4+y4(8)(2xy+x²-y2)2≥x4+y422xy(x²-y2)≥0.显然成立.

再证明不等式(6).令3a=x,3b=y,3c=z,则(6)式等价于xyz+66(|x3-y3|+|y3-z3|+|z3-x3|)≥x6+y6+z63 (9)

不妨设x≥y≥z，则(9)式等价于xyz+66(x3-y3+y3-z3+x3-z3)≥x6+y6+z63 (10)趚yz+63(x3-z3)≥x6+y6+z633xyz+2(x3-z3)≥x6+y6+z63x²y2z2+2(x3-z3)2+26•xyz(x3-z3)≥x6+y6+z63x²y2z2+x6-y6+z6-4x3z3+26xyz(x3-z3)≥0(3xyz-z3)2+x6-y6+(23-4)xyz4+4x3(xyz-z3)+(26-4)xyz(x3-z3)≥0.

注意到x≥y≥z，即知上式成立.

注：(7)式可由(1)式推出，这里给出了(7)式一种直接证明；而(8)式则不能由(2)式推出.事实上，(8)式比由(2)式推出的结果：

3abc≥a2+b2+c23-3+16(|a-b|+|b-c|+|c-a|)(11)强一些.

参考文献

［1］宋庆.两个优雅的双边不等式.中学数学研究(江西师大)，2008(1).