一道颇具特色的中考应用题

韩永华

中考应用题是一道既让人羡慕而又让人敬畏的彩虹．因为它中考必考，所以广大师生为之而付出了大量的心血；因为它难度较大，所以它是学生中考成绩的一只重要砝码；因为它倍受人们的关注，所以命题者坚持不懈地为之而尽善尽美．中考应用题的实用性、综合性、思维性及难度值是衡量其质量的重要标准．下面我们来品尝2008年宜昌市的中考应用题．

2008年宜昌市中考试卷共有25题，满分为120分．应用题排在第24题，满分为10分，从难度值来看属于高档题，从类型来看属于方程与方程组的综合应用题．此题是这样的：

用煤燃烧发电时，所说的标准煤是指含热量为7000大卡/千克的煤．生产实际中，一般根据含热量相等，把所需标准煤的用煤量折合成含相同热量的实际用煤量来计算（“大卡/千克”为一种热值单位）．光明电厂生产中每发一度电需用标准煤0.36千克，现有煤矸石和大同煤两种可选为生产实际用煤，这两种煤的基本情况见下表：

煤的て分趾热量ぃù罂/千克）只用本种煤っ糠⒁欢鹊绐さ挠妹毫开ぃㄇЭ/度）

平均每燃烧一吨煤发电的生产成本购煤费用ぃㄔ/吨）其它费用ぃㄔ/吨）

煤矸石10002.52150a（a>0）

大同煤6000m600a2

（1）求生产中只用大同煤每发1度电的用煤量（即表中m的值）；

（2）根据环保要求，光明电厂在大同煤中掺混煤矸石形成含热量为5000大卡/千克的混合煤来燃烧发电，若使用这种混合煤比全部使用大同煤每发1000度电的生产成本增加了5.04元，求表中a的值（生产成本=购煤费用+其它费用）．

解 （1）因为光明电厂生产1度电所用的大同煤为m千克，而标准煤用量为0.36千克，所以根据题意可得：6000m=0.36×7000，解得m=0.42．

（2）设1吨（即1000千克）含热量为5000大卡/千克的混合煤中含p吨大同煤和q吨煤矸石，则p+q=16000×1000p+1000×1000q=5000×1000，ゼ磒+q=16p+q=5，解得p=0.8q=0.2．

故购买1吨混合煤的费用为：0.8×600+0.2×150=510（元），其它费用为：（0.8a2+0.2a）元．

显然，每燃烧1吨混合煤发电的生产成本为：（510+0.8a2+0.2a）元．

从表格中可以看出，每燃烧1吨大同煤发电的生产成本为：（a2+600）元．

设光明电厂生产1度电用的混合煤为h千克，则5000h=0.36×7000=（或0.36h=50007000），解得h=0.504（千克）．

生产1000度电用的大同煤为：1000×0.42=420（千克）=0.42（吨），生产1000度电用的混合煤为：1000×0.504=504（千克）=0.504（吨）．

由题意可知：每燃烧1吨混合煤发电的生产成本×生产1000度电所用的混合煤－每燃烧1吨大同煤发电的生产成本×生产1000度电所用的大同煤=5.04．于是可得如下方程：

(510+0.8a2+0.2a)×0.504-(600+a2)×0.42=5.04．

化简并整理，得0.1008a-0.0168a2=0，解得a1=6，a2=0（不合题意，应舍去）．

所以表中a的值为6．

仔细品味这道中考题，可以看出它具有以下特色：

1 题目来源于生产实际，充分体现了《数学课程标准》的基本理念和其对学生书面考试的要求

《数学课程标准》在基本理念中指出“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”， 在

教材编写建议中指出“教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，应当反映一定的数学价值”，在书面考试中强调“要设计结合现实情境的问题，以考查学生对数学知识的理解和运用所学知识解决问题的能力”．此题是根据现实生产中大量的数学信息编制而成的，并把折合方法“根据热量相等”作为已知条件放在题目中，使物理学中的能量守恒定律在此得到了渗透，体现了数学在生产实践中的广泛应用，体现了考试内容与学习内容的一致性，体现了数学与自然科学的紧密联系．

2 题目的呈现采用了不同的表达方式，为考生理解题意提供了帮助

此题采用文字与表格结合的呈现方式，并对“大卡/千克”、“生产成本”和“只用大同煤每发1度电的用煤量”分别进行了解释．由于本题涉及到的量比较多，如果全采取文字表达的方式，题目就会显得沉长而臃肿，考生不易理解题意，既影响了考生的心情，又冲淡了本题的考查重点．用表格代替一部分文字，能让考生直观、快速地获取题目中的信息，增加了考生解题的信心．这些方式不仅对考生理解题意大有帮助，同时也体现了考试的人性化，符合新课标下的考试理念．

3 对初中方程的内容进行了全方位的考查

在解此题时，列出了两个一元一次方程（其中有一个也可列为分式方程）、一个二元一次方程组和一个一元二次方程，对于布列各种方程与方程组解应用题在此得到了有机地结合．它结构严谨、寓知识于实际、寓问题于情境，而不是各种知识的简单叠加，是考查学生综合运用初中方程的知识分析问题和解决问题能力的一道难得的典型范例．

4 设计了多个相互联系的思考点

此题虽然只有两个小题，但有七个不可忽视的思考点，并且前面的结论是解答后面问题的基础，好像有一根链条把各个问题串联在一起．

思考点1 在第（1）小题中，根据“生产1度电所用的各种煤含的热量相等”建立关于m的方程，从而求出m的值．前面的解法采用的等量关系是“生产1度电所用的大同煤含的热量=生产1度电所用的标准煤含的热量”，即“生产1度电所用的大同煤的数量×大同煤的热值=生产1度电所用的标准煤的数量×标准煤的热值”．

在第（2）小题中，有以下六个思考点：

思考点2 根据“1吨混合煤中含大同煤的数量+1吨混合煤中含煤矸石的数量=1”及“1吨混合煤中含大同煤的热量+1吨混合煤中含煤矸石的热量=5000×1000”建立方程组，从而求出1吨混合煤中所含大同煤与煤矸石的数量．

思考点3 根据“购买1吨混合煤的费用=1吨混合煤中含大同煤的数量×购买1吨大同煤的费用+1吨混合煤中含煤矸石的数量×购买1吨煤矸石的费用”算出购买1吨混合煤的费用，根据“燃烧1吨混合煤的其它费用=1吨混合煤中含大同煤的数量×燃烧1吨大同煤的其它费用+1吨混合煤中含煤矸石的数量×燃烧1吨煤矸石的其它费用”表示出燃烧1吨混合煤的其它费用．再根据“燃烧1吨混合煤的成本=购买1吨混合煤的费用+燃烧1吨混合煤的其它费用”及“燃烧1吨大同煤的成本=购买1吨大同煤的费用+燃烧1吨大同煤的其它费用”分别表示燃烧1吨混合煤的成本与燃烧1吨大同煤的成本．

思考点4 根据“生产1度电所用混合煤的数量×1吨混合煤的热值=生产1度电所用的标准煤的数量×1吨标准煤的热值”建立一元一次方程，从而解出生产1度电所用混合煤的数量，或者根据“每发一度电用的标准煤数量每发一度电用的混合煤数量=混合煤的热值标准煤的热值”建立分式方程予以解答．

思考点5 根据“生产1000度电所用的大同煤的数量=1000m”及“生产1000度电所用的混合煤的数量=1000×生产1度电所用混合煤的数量”分别算出生产1000度电所用的大同煤的数量及混合煤的数量．

思考点6 根据“燃烧1吨混合煤的成本×生产1000度电所用混合煤的数量-燃烧1吨大同煤的成本×生产1000度电全部使用大同煤的数量=5.04”建立关于a的一元二次方程，从而可求出a的值．

思考点7 根据“1吨=1000千克”进行“千克”与“吨”的互化，使计算或列方程时单位保持一致．

5 此题有多种解答方法

这道题的每个小题都有不同的解法，它不仅可以从局部思考，也可以从整体进行分析．《数学课程标准》要求学生体验“解决问题策略的多样性”在这道中考题中也得到了充分的体现．下面我们就来欣赏本题的另一种解答法：

解 （1）因为光明电厂生产1度电所用的大同煤为m千克，而煤矸石用量为2.52千克，所以根据题意可得：6000m=2.52×1000，解得m=0.42．

（2）设生产1000度电用的混合煤中含大同煤x吨，含煤矸石y吨，根据题意可得：6000×1000x+1000×1000y=5000×1000(x+y)6000×1000x+1000×1000y=(0.36×7000)×1000，ゼ6x+y=5(x+y)6x+y=0.36×7，解得x=0.4032y=0.1008．

所以，生产1000度电所用的混合煤的成本为： ［0.4032(a2+600)+0.1008(a+150)］元，生产1000度电全部用大同煤的成本为：0.42×10001000(a2+600)=0.42(a2+600)元．根据题意得：［0.4032(a2+600)+0.1008(a+150)］-0.42(a2+600)=5.04.

化简并整理，得0.1008a-0.0168a2=0，解得a1=6，a2=0（不合题意，应舍去）．

所以表中a的值为6．

上面的解法用到了三个等量关系：①生产1000度电用的混合煤中大同煤含的热量+生产1000度电用的混合煤中煤矸石含的热量=生产1000度电用的混合煤的数量×混合煤的热值；②生产1000度电用的混合煤中大同煤含的热量+生产1000度电用的混合煤中煤矸石含的热量=生产1000度电用的标准煤含的热量；③生产1000度电所用的混合煤的成本-生产1000度电全部用大同煤的成本=5.04．

这道令人回味的中考应用题，紧扣课标、结构严谨、构思巧妙、不偏不怪．它以“考查学生把知识由点到线及由线到面的整合能力”为标高，显示出了它作为高档题应有的实力（这里所说的点是指题目中蕴含的每一个数学知识，线是指题目中所有知识点之间的联系，面是指点和线构成的实际问题）；以“多种呈现题目的方式”为手段，显示出了它的美丽；以“具有灵活多样的解法”为选材标准，显示出了它的魅力；以“考查对常用知识及常规常法的掌握”为准绳，显示出了《数学课程标准》的法力．显然，它不仅为以后的中考命题者奠定了良好的基础，而且为今后应用题的教学指明了方向、提供了思路．プ髡呒蚪椋汉永华，1962年12月生，中学高级教师，主要研究数学课堂教学策略. 发表文章10余篇.