攻破实数的“错误防线”

张朋温

《实数》一章概念较多.同学们初学时,若理解不深,掌握不牢固,解题时就会出现错误.本文就同学们作业中常见的错误举例加以剖析.

例1 4的平方根是.

错解:因为22=4,所以 4的平方根是2 .

剖析:错解在于没有正确理解“一个正数有两个平方根,且互为相反数”.这里忽视了(- 2)2 = 4这一点.

正解:因为(±2)2 = 4,所以4的平方根是±2.

例2 计算=.

错解: = ±.

剖析:错解的原因是混淆了平方根与算术平方根两个概念.这里表示的算术平方根,应为正值.

正解:=.

例3 计算=.

错解:=- 5 .

剖析:由(-5)2 = 25, 则表示25的算术平方根,应为正值.

正解:== 5.

例4 的平方根是.

错解:因为(±4)2 = 16,所以的平方根是±4.

剖析:表示16的算术平方根,即=4.此题实际上是求4的平方根.

正解:的平方根是±2.

例5 27 的立方根是.

错解:27的立方根是 ±3 .

剖析:错解的原因是将平方根与立方根两个概念混淆了.一个正数的立方根仍为正数.

正解:因为33=27,所以27的立方根为 3 .

例6 试比较0.3与的大小.

错解:0.3>.

剖析:错解的原因是没有理解“正的纯小数的算术平方根比它本身大”.

正解:因为0.3 ==,而<,所以0.3<.

例7 若·=0成立,则 a 的值为.

错解:由题意知,a-1=0或a-2=0.

所以a=1或a=2,即a的值为1或2 .

剖析:错解忽视了负数没有算术平方根.本题中,字母的每一个值都必须保证每个因式都有意义.

正解:由题意知a-1=0或a-2=0,所以a=1或a=2.

当a=1时,a-2=-1< 0.由于负数没有算术平方根,因此a=1舍去.

故a=2.

例8 判断下列说法是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”.

(1)带根号的数都是无理数; ()

(2)无理数就是开方开不尽而产生的数;()

(3)有限小数都是有理数,无限小数都是无理数. ()

错解:(1)√;(2)√;(3)√.

剖析:(1)判断一个数的性质,要根据数的定义或数的实质意义,不能只看形式.如,虽带有根号,但其结果为2,即=2,而2是有理数.故上述说法是错误的 .

(2)目前我们学习的无理数有三种形式:① 开方开不尽的数,比如､等;②圆周率π;③无限不循环小数,如0.202 002 000 2….所以,开方开不尽的数都是无理数,但无理数并不都是开方开不尽的数.故上述说法是错误的.

(3)“有限小数都是有理数”是对的,而“无限小数都是无理数”的说法不正确.无限小数包括两部分:一部分是无限循环小数,属于有理数;另一部分是无限不循环小数,属于无理数.故上述说法是错误的.

正解:(1)×;(2)×;(3)×.

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