“立方根”要点精析

司友毓

立方根是平方根之外的又一种开方运算的表示形式.立方根与平方根虽然同属于开方运算的范畴,但两者之间又有着明显的区别.因此,要加强对有关运算的理解,弄清两者的异同点.

一､立方根的概念及理解

1.概念:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根,记做,读做“三次根号a”.其中a是被开方数,3是根指数.

2.立方根的性质:(1)一个数的立方根只有一个;(2)正数的立方根是正数;(3)负数的立方根是负数;(4)0的立方根仍为0;(5)两个相反数的立方根仍为相反数.

3.立方根与平方根的比较.

(1)相同点:都属于开方运算的范畴;0的立方根与平方根都是0本身.

(2)不同点:一个正数的平方根有两个,而立方根只有一个;负数没有平方根,却有立方根.

例1 下列说法正确的是( ).

A.-3是-9的平方根 B.3是9的算术平方根

C.(-3)2的平方根是3 D.27的立方根是±3

解析:根据平方根的概念可以判断出,-9没有平方根,所以A错误;(±3)2=9,9的算术平方根只能是正的,所以B正确;(-3)2=9,9的平方根却有两个,即±3,所以C错误;27的立方根只能是3,故D错误.所以本题正确答案为B.

二､求立方根

1.求一个数的立方根的运算,叫做开立方.它与立方运算互为逆运算.我们可以利用这种互逆关系求一个数的立方根.

例2 求下列各数:(1);(2);(3).

解析:(1)因为53=125,所以=5.(2)因为(-4)3=-64,所以=-4.另外,求负数的立方根时,可先将根号下的负号提到根号外面,然后再开方,即=-=-4.(3)因为63=216,所以=6.

2.运用计算器求立方根(或近似数).

(1)计算器上带有 键的,可以直接进行计算.

用计算器求的值,可以按下列步骤进行:→1256 → = .最后显示:10.789 381 42 ,即的近似值为10.789 381 42.

(2)若计算器上没有键,则需要用第二功能键求一个数的立方根.

如求的值 ,可以按下列步骤进行: 2ndF→ → 1256→=.最后显示10.789 381 42.

三､立方根的速算

你能不用计算器快速计算出的值吗?如果没有一定的技巧,是不可能得出正确答案的.下面我们就介绍一个快速计算立方根的诀窍.

先来计算下列立方:03=0,13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729.

仔细观察这些计算结果可以看出,23的个位数字是8,而83的个位数字是2;33的个位数字是7,而73的个位数字却是3.除此之外,其余各数的立方数的个位数字都与底数相同.

现在,我们就有了一个快速计算立方根的方法:将被开方数分成两部分,其中后三位为一部分,若末位数字(即个位数字)为2,则其立方根的个位数字必为8.若个位数字是8,则立方根的个位数字必为2.若个位数字是3,则立方根的个位数字必定是7,反之,则为3.若是其他数字,则立方根的个位数字与被开方数的个位数字相同.然后再将前几位进行考查,看其在哪两个数的立方之间,则立方根的前一部分就可以确定了.

例3 快速计算:(1);(2) ;(3).

解析:(1)先将941 192分成941与192两部分,由192知,其立方根的个位数字必是8.而93<941<103,故立方根的十位数字一定是9.故=98.

(2)将328 509分成328和509两部分,则可得立方根的个位数字一定是9,而63<328<73,故立方根的十位数字必为6,故=69.

(3)由928可知立方根的个位数字一定为2,而1 404>1 000,可从11开始试探,不难发现,123>1 404>113,故立方根的前一部分一定是11.故=112.

注意,此种方法只适用于选择题､填空题等,而且被开方数必须能被开尽.

你学会了吗?检验一下:求的值.

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