巧填加减号

邢进文

双休日,聪聪和明明做完了老师布置的作业,他俩又被一道有趣的数学游戏题迷住了……

题目是这样的:在1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字之间任意添上“+”､“-”,使这9个数字既不重复也不遗漏,经过运算后结果为23,有几种方法?

聪聪思考良久,很快设计出下面一种方案:

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23.

明明也不逊色,马上写出:

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23.

“可是这样找下去既费神,又劳心,什么时候才能把所有的方法给找全呢?”聪聪苦恼地说道.

“是啊,要是能找到一种不用穷举的方法来解决这道难题就好了!”明明说.

“嗯,那咱们就得另寻他路,试着从别的方面寻找突破口!”聪聪若有所思地回答道,“你看,在刚才我们俩所写的运算式中,虽然方法不一样,但所有正数的代数和都等于34,所有负数的代数和都等于-11,这样一来,相加之后的和就等于23了!”

“噢,是的!”明明兴奋地说道,“你的思路启发了我,可以设在填上适当的‘+､‘-后,所有正数的代数和为a,所有负数的代数和为b,故有等式a+b=23.”

“嗯,再来看看这9个数字的绝对值的和吧,容易发现它们的绝对值的和等于45.也就是说,|a|+|b|=45,根据绝对值的意义,可以得到a-b=45.”聪聪补充道.

“由a+b=23,可得a=23-b,在a-b=45中,可以将a换作23-b,就得到了23-b-b=45,从而有b=-11.接下来的问题就是如何在这9个数字中适当地填上‘+､‘-,使负数的代数和为-11了.”明明像发现了新大陆一样高兴地说道,“不难发现-11=-2-9=-3-8= -4-7=-5-6=-1-2-8=-1- 3-7=-1- 4-6=-2-3-6=-2-4-5这9种算法……”

“那这样就有9种填法:

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23;

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23;

1+2+3-4+5+6-7+8+9=23;

1+2+3+4-5-6+7+8+9=23;

-1-2+3+4+5+6+7-8+9=23;

-1+2-3+4+5+6-7+8+9=23;

-1+2+3-4+5- 6+7+8+9=23;

1-2-3+4+5-6+7+8+9=23;

1-2+3-4-5+6+7+8+9=23.”

聪聪抢过话头,一口气把所有的方法给罗列完.