如何探索数字问题中的规律

刘　军

探索规律问题是近几年考试的热点,数字问题出现的频率较大,现将探索数字问题的规律题分类说明.

一､探索个位数问题

例1 观察下列等式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,…通过观察,用你所发现的规律确定22 006的个位数字是.

通过计算发现,在计算2的幂的运算时,个位数四个四个地循环,因为,2006 = 4 × 501 + 2所以22 006的个位数和22的个位数相同,即22 006的个位数是4.

说明:在计算的时候要注意观察个位数字的变化规律,找出循环的周期,得出一般规律:指数被4整除时,个位上的数字与24个位上的数字相同,指数被4整除余1时,个位上的数字与21的个位上的数字相同,依此类排.

二､探索特殊数的乘方问题

例2 你能很快算出2 0052 吗?

为了解决这个问题,我们考察个位数为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n + 5,问题即求(10n + 5)2 的值(n为自然数),试分析n = 1,n = 2,n = 3,…这些简单情况,从中探索其中的规律,并归纳､猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果).

(1) 通过计算,探索规律:

152 = 225,可写成100 × 1 × (1 + 1) + 25;

252 = 625,可写成100 × 2 × (2 + 1) + 25;

352 = 1 225,可写成100 × 3 × (3 + 1) + 25;

452 = 2 025,可写成100 × 4 × (4 + 1) + 25;

752 = 5 625,可写成.

852 = 7 225,可写成.

……

(2)从第(1)题的结果,归纳､猜想得:

(10n + 5)2=.

(3)根据上面的归纳､猜想,请算出:2 0052 = .

解:(1) 100 × 7 × (7 + 1) + 25 100 × 8 × (8 + 1) + 25;

(2) 100n(n + 1) + 25( n为自然数)

(3) 100 × 200 × (200 + 1) + 25 = 4 020 025.

说明:本例的实质是先用代数式表示出一般情况,再求特殊情况下代数式值的计算规律,归纳出一般性结论,再求这个一般性结论中代数式的值,体现了“特殊 — 一般 — 特殊”的思想方法,这正是用字母代数(从特殊到一般)后再求代数式值(从一般到特殊)这种思想方法的反复应用.

三､探索数表中数的规律问题

例3 图1是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第n列的数: .

通过观察数表中的第一列,发现每一个数都是一个数的平方的形式,并且第n行是n的平方. 而第n行第n列的数是第n行的第n个,即数字是:n2 - (n - 1) = n2 - n + 1.

解:第n行第n列的数是 n2 - n + 1.

四､探索数列中数的规律问题

例4 人民公园的侧门口有9级台阶,小聪一步只能上1级台阶或2级台阶,小聪发现当台阶数分别为1级､2级､3级､4级､5级､6级､7级……逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1､2､3､5､8､13､21……这就是著名的斐波那契数列. 那么小聪上这9级台阶共有种不同方法.

这一列数的特点是:从第三个数起,每一个数是前面两个数的和. 8级台阶有13 + 21 = 34(种)方法,9级台阶有34 + 21 = 55(种)不同的方法.

说明:这里不能用公式表示这列数的一般性规律,但根据“每一个数是前面两个数的和”这一个规律可以将前面的数都写出,这样就可求出所要求的某一个数,从而得到上某级台阶共有几种不同方法.

例5 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据,,,,…中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门,按这种规律写出第7个数据是 .

先认真观察所给数据的分子可知分别是按规律32,42,52,62,…排列的,再看每个分数的分母可发现均比对应的分子小4,即所给数据可分别按上述规律写成:= , = ,= ,= ,… 故可知第7个数据应是 = ,故填.

说明:本处运用了归纳思想解题,利用它常可以从看似“杂乱”的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文