由“三视图”确定小立方体个数

陈开金

例1 若干个小立方体所搭几何体的“三视图”如图1,你能说出搭这个几何体用了多少个小立方体吗?

图1

我们可以在俯视图的小正方形中标上数字,表示该位置小立方体个数.但同学们在标个数时,常常缺乏条理,漏掉一些可能情况.那么如何快速准确地标出相应位置的个数呢?我们可以采用“先填足,再减数”的方法来填.

(1)先填足

从主视图可以看出,从正面看三列的层数依次为3､4､2,因此,可在俯视图上标出个数最多时的“足额”情况,如图2.

(2)再减数

实际上,在三列上分别只要有一个位置的层数是3､4､2就够了,由于第一列只有一个位置标3,因此这个3可以先确定下来.

其余位置的4个数4､4､2､2可以根据左视图各列的层数来适当减少.左视图第1列4层,第2列2层,所以从左边看第1列上的4必须保留,第2列上的4必须调整,调整后的最大数为2,如图3.

这已经是合乎要求的一种情形了,但它不是唯一情形,还可以进一步把其中除3､4以外的3个2减小,调整时只需要保证3个2确定的纵横方向上的两条视线上最大的都是2就可以了.依次把其中的若干个调为1检验即可.若只调整1个2,可得图4､图5､图6.

如果调整两个2,可得到图7.

可见,这样的组合体,最多可以由13个小立方体组成,最少可由11个小立方体组成,而且组成的形状也不尽相同,共有5种情况,但它们的“三视图”却完全相同!这也说明,“三视图”只能大致反映几何体的形状.

以上所述方法的优点是思路清晰,但有时候显得唆了一点,如果我们能先确定俯视图中某些位置的小立方体个数,尽量减少需要调整个数的位置,就能提高效率.有两类位置能直接确定:如果俯视图的某一列(行)上只有单个位置,就可以先确定下来,这就是所谓的“单个位(置)先定住”;不管从哪个方向看,如果主视图､左视图上某一列只有1层,那么可以在俯视图上的相应位置先全部标成1,这即是“单层先定住”,综合起来就是“单位单层先定住”.

例2 若干桶方便面摆放在桌子上,图8中实物图片左边所给的是它的“三视图”,则这一堆方便面共有().

A. 5桶B. 6桶C. 9桶D. 12桶

我们可以先从俯视图看出大致位置,然后结合主视图和左视图在俯视图上标出各个位置的方便面数量.

由主视图的右列有2层可先在相应位置标出2,然后由左视图右边一列只有1层可在相应位置标1,最后在相应位置标3,如图9.故选B.

例3 图10是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的“三视图”,则组成这个几何体的小正方体的个数是().

根据三视图确定小正方体的个数,最简单的方法是利用主视图和左视图,在俯视图上标出相应位置的小立方块的个数.根据“单位单层先定住”,可以先确定出图11所示的位置.然后由主视图,可立即在余下位置处都标出3,得到图12.

可见,组成这个几何体的小正方体的个数是10.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文