构造全等三角形的常用方法

王文付

证明线段和角相等常利用全等三角形.但是，有些问题不能直接利用全等三角形，对它们该如何处理呢？这就需要构造全等三角形.下面将常用的构造方法介绍如下，希望能对大家的学习有所帮助.

一、作垂线构造全等三角形

例1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC.M是AC边的中点.AD⊥BM交BC于D，交BM于E.试说明：∠AMB=∠DMC.

解：作CF⊥AC交AD的延长线于F.如图2.

∵∠A=90°，AD⊥BM，

∴∠FAC=∠MBA=90°-∠AMB.

∵AB=AC，∠BAM=∠ACF=90°，

∴△ABM≌△CAF.

∴∠F=∠AMB，AM=CF.

∵AM=CM，∴CF=CM.

∵∠MCD=∠FCD=45°，CD=CD，

∴△MCD≌△FCD（SAS）.

∴∠F=∠DMC.

∴∠AMB=∠DMC.

二、利用旋转构造全等三角形

例2如图3，正方形ABCD中，Q在DC上，P在BC上，∠1=∠2.求证：PA=PB+DQ.

证明：△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°到△ABM的位置，如图4.

∴△ABM≌△ADQ.

∴∠4=∠2=∠1，∠M=∠AQD，BM=PQ.

∵AB∥CD，

∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP.

∴∠M=∠MAP.

∴PA=PM=PB+BM.

∴PA=PB+DQ.

三、利用折叠构造全等三角形

例3如图5，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD.求证：AB>AC.

证明：将△ADC沿AD翻折，因∠BAD>∠CAD，故点C落在BD上的E点处，如图6.

∴△ADC≌△ADE.

∴∠C=∠AED.

∵∠AED>∠B，

∴∠C>∠B.

∴AB>AC.

四、与中点连接构造全等三角形

例4两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图7所示放置，E、A、C三点在一条直线上.连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.

解：△EMC是等腰直角三角形.

由已知条件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°.

故∠DAB=90°.

如图8，连接AM.由AD=AB，DM=MB可知△ABD为等腰直角三角形，且△AMD≌△AMB（SSS），故∠MAD=∠MAB=45°=∠MDA.

∴AM=DM.

从而∠MDE=60°+45°=∠MAC，故△EDM≌△CAM（SAS）.

因此EM=CM.又易得∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=90°，所以△EMC是等腰直角三角形.