关于函数值域的求法

戈秀英

函数的值域就是函数值的取值范围，求函数值域是重点，更是难点.学生对函数值域的问题常感到头疼.下面通过典型例题说明求函数值域的几种方法.

一、常见函数的值域

一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R.

二次函数y=ax２+bx+c（a≠0），当a>0时，值域是[4ac-b２，+∞）；当a<0时，值域为（-∞， 4ac-b２].

指数函数y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域为R.

对数函数y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域为R.

正余弦函数的值域为[-1，1]，余切函数的值域为R．

二、求函数值域的方法

1．逆求法．主要适用于形如y=（c不为０）的函数，通过求函数反函数的定义域来确定函数的值域.

例1求y=的值域.

解:由y=解出x，得x=. ∵ 2y+1≠0，故函数的值域为y≠且y∈R.

2．分离常数法．主要适用于具有分式形式的函数解析式，通过变形将函数化成y=a+的形式.

例2求函数y=的值域.

解:由y=得y=1+. ∵ -1≤sinx≤1 ， ∴ -≤y≤-，即函数的值域是[-，-].

评注：此题也可把函数转化为sinx=f（y）的形式，则-1≤f（y）≤1确定值域.

3．判别式法．能转化为ａ（y）ｘ２+ｂ（y）ｘ+ｃ（y）=0的函数常用判别式法.主要适用于形如y=（a，d不同为零）的函数.

例3求函数y=的值域.

解:由 y=去分母得（y-1）x２+（1-y）x+y=0. （＊）

∵y=1时，方程（＊）无解，∴ y≠1.又 ∵ x∈R ∴ 方程（＊）的判别式?驻=（1-y）２-4y（y-1）≥0（y≠1），解得函数的值域是[-，1）.

评注:在由?驻≥0且a（y）≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值.

4．配方法．形如二次函数或 y=af２（x）+bf（x）+c （a≠0）的函数常用配方法.

例4求函数y=sin２x+4cosx+1的值域.

解: y=-cos２x+4cosx+2=-（cos２x- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）２+6

当cosx=-1时，ymin=-3; 当cosx=1时，ymax=5．所以函数的值域是[-3，5].

评注:利用配方法时，注意f（x）的取值范围.

5． 均值不等式法．利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域，要注意满足“一正、二定、三等”.

例5求函数y=x （-3＜x＜0）的值域.

解: y=x=-≥-[]=-.

当且仅当x２=9-x２，即x=-时取等号，所以函数的值域是[-，+∞）.

评注:利用均值不等式求最值应验证等号成立的条件.

6．换元法．通过整体换元法（形如y=ax+b+的函数）或三角换元法（形如y=ax+的函数）把无理函数、指数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法.

例6求函数y=x-的值域．

解：令t=（t≥0），则x=t２+1，y=t２-t+1=（t-）２+.

当t=时，ymin=，y没有最大值， 所以函数的值域是[，+∞）．

评注:应用换元法时，须注意新元的范围.

此外，还有数形结合法和导数法等．

遇到求函数值域的问题，应首先考虑有哪几种基本方法，有的题目可用几种方法求解，在多种方法中选出最优方法.

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