函数的来历

永　亮

现行数学教科书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数的．

函数（function）这一名词，是德国的数学家莱布尼茨17世纪首先采用的．在最初，莱布尼茨用函数一词表示变量x的幂，即x2，x3，…．其后莱布尼茨还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量．

与莱布尼茨几乎同时，瑞士数学家雅克·贝努利给出了和莱布尼茨相同的函数定义．1718年，雅克·贝努利的弟弟约翰·贝努利给出了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说为：由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数．

约翰·贝努利的学生瑞士数学家欧拉，把约翰·贝努利关于函数的定义又推进了一步，使之更加明朗化．1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”

由此可以看到，由莱布尼茨到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起的．

为了适应当时所出现的各种情况，为了适应数学的发展，法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称为‘自变数，其他各变数则称为‘函数．”在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．

这一定义和我们现行中学课本的定义是很相近的．在这里，函数的概念和曲线、连续、不连续等概念之间纠缠不清的情况，已经得到了澄清．

但是，柯西的定义总还是考虑到x，y之间的关系可用解析式表示．德国数学家黎曼引入了新的定义：“对于x的每一个值， 总有完全确定了的值与之对应，而不拘于建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数．”

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值 ，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的.”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系可以求出每一个x的对应值．

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被较长期地使用．

我们看到，函数这个重要概念发展到近代，经过了一段如此漫长的道路，从某种意义上来说，它反映了人类对事物逐渐精确化的认识过程．数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．