由少到多探索三角形全等的条件

文　武

前面我们了解了全等三角形的性质以后，判定两个三角形全等需要哪些条件是我们在现实生活中常常遇到的问题.

[问题与情境]

我市一家加工公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必须全等. 质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一检查三角形的三条边、三个角是不是分别相等. 技术科的小明提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个数据固然可以， 但为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法？只量一组数据可以吗？两组呢？

小明已提出了这么一个设想，同学们是否可以和小明一起来攻克这个难题呢？我们可以通过画图、观察、比较，在条件由少到多的过程中逐步探索.

（1） 只量一组数据，即一组对应边或一组对应角能不能判断两个三角形全等呢？

（2） 测量两组数据能判定吗？这时有三种情况，即两组对应边、一组对应边一组对应角、两组对应角.

（3） 若两组条件仍不能判定两个三角形全等，再添加一个条件呢？

在对三组条件下的四种可能，即三条边、三个角、两边一角和两角一边的探索中，我们逐步得到两个三角形全等的条件.

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”. （三角形的稳定性）

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”．

[开眼界]

国家邮政局于 2000 年 11 月 20 日发行了一套《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》等边三角形邮票，这是我国继 1951 年发行的第一套《保卫世界和平》三角形邮票之后，发行的第二套三角形邮票. 从世界范围看，各国发行的邮票，虽然也是以方形款式居多，但三角形及圆形、梯形、平行四边形、六边形、不规则几何形等其他种类的异形邮票并不鲜见.自 1840 年邮票问世后的最初10年里，各国（地区）发行的邮票均是横竖长方形，以体现有价证券的庄严. 1851年，加拿大新不伦瑞克率先发行了一种正菱形邮票，给人耳目一新之感. 1853年，南部非洲好望角地区诞生了世界上第一套三角形邮票，主图为希腊女神坐像，主要是因为当地居民大部分是文盲和半文盲，寄本埠和外埠邮件时搞不清该贴哪种邮票. 邮政当局遂创意推出别致的三角形邮票，流传至今已成身价不菲的世界级珍邮. 倘若说到中国三角邮票票形的起始年代，可追溯到清末的非常时期. 当时，由于种种原因，某些地方邮局个别小面值邮票售缺，一时又无法获得补充，于是自行将现有之较大面值邮票对半剪开作半价使用应急. 1903 年 10 月 22 日至24 日，当时的福州邮局 1 分邮票售完，经呈北京邮政总局，特准临时将竖长方形的红色 2 分蟠龙邮票斜角对剖，每半枚成不等边三角形暂作 1 分邮票，使用时需先盖上黑色长方形英文“邮资 1 分已付”戳，再盖销日戳. 从 1853 年到 2000 年，从南非好望角的“希腊女神”到中国的“‘神舟飞船”，我们看到：在仅仅百多年的时间里，不但邮票的设计艺术与印刷水平有了极大的提高与进步，而且人类对宇宙神话般的向往终于成为了现实！真可谓：神女应无恙，当惊世界殊. 可以说，这套三角形《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》邮票，又为我国的“国家名片”——邮票家族增添了新的光彩.

[经典例析]

例 1 如图 1，点 E、F 在 BC 上，BE ＝ CF，AB ＝ DC，∠B ＝ ∠C，那么AF ＝ DE 吗？为什么？

如果能证明△ABF△DEC，由全等三角形的性质可以得到AF ＝ DE.

解：AF ＝ DE．

理由：∵ BE ＝ CF,

∴ BF ＝ CE.

∵ AB ＝ DC，∠B ＝ ∠C, BF ＝ CE,

∴ △ABF△CDE. （SAS）

∴ AF ＝ DE.

根据题目提供的条件，结合图形，灵活地选用三角形全等的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等.

[即学即练]

1． 在生活中，我们经常会看到图 2 所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆，这是利用了三角形的 .

2. 如图 3，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3片，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去.

3． 如图 4，已知在△ABC和△DCB中，AC = DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC△DCB，则还需增加一个条件是 .

4． 如图 5，AB = DC，AD、BC相交于点O，要使△ABO△DCO，应添加的条件为（添加一个条件即可）.

5． 下列判断中，错误的是（）.

A． 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B． 有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C． 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D． 有一边对应相等的两个等边三角形全等

6． 如图 6，在△ABC与△DEF中，给出以下 6 个条件：①AB = DE；②BC = EF；③AC = DF；④∠A = ∠D；⑤∠B = ∠E；⑥∠C = ∠F．以其中 3 个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）.

A． ①②⑤ B．①②③

C． ①④⑥ D．②③④

7． 如图 7，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）.

A．40°B．45°C．50°D．60°

8． 如图 8，将两根钢条AC、BD的中点O连在一起，使AC、BD可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则CD的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB△OCD的理由是（）.

A． 边角边 B． 角边角 C． 边边边 D． 角角边

9． 如图 9，点E在AB上，AC = AD，∠CAB= ∠DAB，请你写出图中全等的三角形，并就其中的一对给予证明.

10． 如图10，AB = AC，BD = CD，则∠B与∠C相等吗？请说明理由.

[中考风向标]

1． （2007年·沈阳市）如图11，AC、BD相交于点O，∠A ＝ ∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB△DOC，你补充的条件是 .

本题考查了全等三角形的判定方法. 在△AOB与△DOC中，已有∠A ＝ ∠D，∠AOB ＝ ∠DOC,还缺一组边对应相等，因此补充的条件是AO ＝ DO或AB ＝ DC或BO ＝ CO.

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