利用三角形全等测距离

王习建

全等知识在生产和生活中应用非常广泛，而利用三角形全等测距离是其中非常重要的方面，通过三角形全等的相关知识，我们可以更为“神通广大”，“上可测无法攀爬之高山，下可量不易逾越之平塘”.

[问题与情境]

小娟有一个 ，她想知道[ ][B][A]的内部AB的长,但是她只有 ，能测量出AB的长吗？说说你的想法.

显然直接测量AB间的距离并不容易，我们不妨把两支铅笔从中点处绑在一起，把下段笔尖放在需要测量的A、B处，由三角形全等的性质，则笔头之间的距离为AB的长（如图1）.

试想：如果不把两支铅笔从中点处绑在一起，用上面的方法，我们能测量出AB之间的距离吗？

[开眼界]

如图 2，A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个可行的方案.

根据图 3中的设计图，你能说明其中的依据吗？

[经典例析]

例1 某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度（如图 4）． 小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？说明道理．

A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造两个全等的三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB的长．

解：如图 5，在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连接AO延长到D，使OD ＝ OA；连接BO并延长到E，使OE ＝ OB. 连接DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．

利用全等可以解决我们生活中很多的实际问题. 如测量一个池塘两边的距离、测量一电线杆是否垂直与地面、测量一个零件是否合格等. 这再一次说明数学与我们的日常生活是紧密相关的.

例2 如图 6，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性．

直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现图 7 中的情况．所以要寻求另一种使对应边在岸上的方法．不妨参考“开眼界”中图 2 （2）的方法．

解：方法：如图 8，在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD ＝ BC. 过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF 的长就是A、B间的距离．

理由：∵ AB⊥BE，DG⊥BE,

∴ ∠B ＝ ∠BDF ＝ 90°.

在△ABC和△FDC中，

∠B ＝ ∠BDF，

BC ＝ CD，

∠ACB ＝ ∠FCD，

∴ △ABC△FDC.（ASA）

∴ AB ＝ DF.（全等三角形对应边相等）．

要注意区分例 1 和例 2 两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来选择恰当的方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用 SAS 证全等；而第二种有垂直的情况，会用 ASA 证明三角形全等．当然，若有特殊情况，需具体分析．

[即学即练]

1． 如图 9，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距14 km，C、D为两村庄（可看为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA = 8 km，CB = 6 km．现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距 A 站多少千米处？

2．图10是一个三角测平架，AB = AC，在BC的中点D处悬挂一重锤DE（自然下垂）．要使BC处于水平位置（即BC与重锤线DE垂直），只要调整架身使点A恰在重锤线DE上就行，这是什么原因？

3． 你一定玩过跷跷板吧！图11是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系？为什么？

4． 如图12，墙上有一面大镜子，上面有两点A、B． 小明想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直接测量，旁边又没有梯子，只有一根长度比圆的直径稍长点的竹竿和一把卷尺．小明做了如下操作：在他够得着的圆上找一点C ，接下去小明却忘了应该怎么做？你能帮助他完成吗？

[中考风向标]

1． （2007年·宜昌市）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图13，中塔左右两边所挂的最长钢索AB = AC,塔柱底端总D与点B间的距离是228 m，则BC的长是 m．

利用△ABD△ACD或利用等腰三角形三线合一的性质可得CD = BD = 228 m，故BC = 456 m.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”