巧用三角形的中线解题

庄亿农

连接三角形的一个顶点和这个顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线，它是三角形中的三种重要线段之一，应用比较广泛，下面举例说明．

1. 用于求边长之和（差）

例1如图1，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大5，试求AB-AC的值．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]根据所给条件我们无法求出边AB、AC的长，由△ABD的周长比△ADC的周长大5，再根据中线的性质，可用整体思想予以解决．

解：因为△ABD的周长为AB+BD+AD，△ADC的周长为AC+DC+AD，所以（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）=5.从而可得AB+BD-AC-DC=5．

又因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.所以AB-AC=5．

2.用于求三角形的面积

例2如图2，AD是△ABC的中线， E是边AC的中点， F是线段AD的中点，G是线段AE的中点. 若△AFG的面积为2，试求△ABC的面积．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]由于AD是△ABC的中线，△ABD和△ADC等底同高，所以它们的面积相等．

又因为E是边AC的中点，则DE是△ADC的中线，所以△ADE和△DEC的面积相等.

同样可得△AEF和△DEF的面积相等，△AFG和△FGE的面积相等．

如此便可以找出△ABC与△AFG的面积之间的倍数关系，从而求出△ABC的面积．

解：因为G是线段AE的中点，所以FG是△AEF的中线.故△AFG和△FGE的面积相等，S△AEF=2S△AFG= 4.

同理可得S△ADE =2S△AEF=8，S△ADC =2S△ADE=16，S△ABC=2S△ADC=32．

3.用于方案设计

例3某中学校园内有图3和图4所示的两块三角形空地.学校准备将这两块空地绿化，要求把图3所示的空地分成3个面积相等的三角形，把图4所示的空地分成4个面积相等的三角形．现向同学们征集设计方案，请你设计一套方案，并简要说明理由．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]这是一道既动手又动脑的实际操作题，方案设计方法不唯一.我们可以利用三角形的中线的性质进行设计．

解：如图3，分别作中线AD、BE，交于点P.连接PC，得△PAB、△PBC、△PAC．

∵△ABD、△ADC等底同高，△PBD、△PDC等底同高，

∴S△ABD=S△ADC，S△PBD=S△PDC .

∴S△PAB=S△PAC .

∵△BCE、△BEA等底同高，△PCE、△PEA等底同高，

∴S△BCE=S△BEA， S△PCE=S△PEA.

∴S△PBC=S△PAB .

故S△PAB=S△PBC=S△PAC .

如图4，作△ABC的中线AD，取边AB的中点E、边AC的中点F，连接DE、DF，将△ABC分成4个三角形．

因为AD是△ABC的中线，所以 S△ABD =S△ADC ．

由于DE、DF分别是△ABD和△ADC的中线，所以 S△ADE=S△DBE，S△ADF =S△CDF ．

故S△ADE=S△DBE =S△ADF=S△CDF ．