多元函数最值问题求解策略

张小臣

多元函数是高等数学中的重要概念之一，随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值问题在全国高中数学联赛和高考中频频出现.本文就高中阶段常见多元函数最值问题的求解策略作一阐述.

1 多元函数的定义及有关概念

定义1 平面点集：建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x, y)的全体, 即R2=R×R={（x,y)|x,y∈R}——坐标面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集,记作E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.

定义2 设D是xoy平面上的点集, 若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,使得在D内每取定一个点P(x,y)时, 按着这个关系有确定的z值与之对应, 则称z是x，y的二元(点)函数.记为z=f(x,y)（或z=f(P)）.称x,y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数的定义域,数集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域.

定义3 类似地，可定义“n维空间”、“n元函数”.二元及二元以上的函数统称为多元函数.

2 多元函数最值问题求解策略

1.减元法：根据化归思想的理论可尝试将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数来处理，可通过换元、不等式放缩技巧、题中条件等式等途径实现.

（1）通过换元减元：

说明：本题的第二小题，我们常见的解法是将三角形的面积S表示为直线斜率k的函数，再求这个一元函数的最值，运算繁琐.这里运用了二维柯西不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)（当且仅当ac=bd时取等号）来求简洁明了.

参考文献

[1] 罗增儒.心路历程：认识、反思、拓展[J].中学数学教学参考,2007.10

[2] 齐明鑫,周璇,吕飞,张志强.全国高中数学联赛历届真题[M].开明出版社,2005.1

[3] 熊斌,冷岗松.赛前集训——高中数学联赛专题辅导[M].华东师范大学出版社,2004.5

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”