一类离散型随机变量的数学期望的探求

1 问题的引入

有这样一个问题：一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9,第二台是0.8，第三台是0.85.求在一小时内机床不需要工人照顾的机床的台数ξ的数学期望.

一般解法如下：设三台机床在一小时内不需要照顾分别为事件A、B、C，则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85. 可计算出：P（ξ=0)=0.003,P（ξ=1)=0.056,P（ξ=2)=0.329,P（ξ=3)=0.612,所以Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=2.55

我们发现：0.9+0.8+0.85=2.55,即随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和！这是一种巧合，还是一种必然？

为了探求一般性结论，我们设P（A）=a,P(B)=b,P(C)=c. 分别可求：

P（ξ=0）=P（）·P（）·P（）=（1-a)(1-b)(1-c)

P（ξ=1）=P（A）·P（）·P（）+P（）·P(B)·P（）+P（）·P（）·P（C）=a（1-b)(1-c)+b(1-a)(1-c)+c(1-a)(1-b)

P（ξ=2）=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P()·P（C）+P（）·P（B）·P（C）=ab（1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)

P（ξ=3）=P（A）·P（B）·P（C）=abc

进而求得Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=a+b+c.

从以上推导的结论可看出，前述“随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和”是一种必然结果！

2 期望公式及证明

通过进一步的研究，我们可以得到更一般的结论，下面以定理的形式给出：

3 本文定理与服从二项分布的随机变量的期望的关系

可见，n次独立重复试验是本文定理中所述试验的特例，那么，服从二项分布的随机变量的期望公式是本文定理中所述期望公式的特例，反过来，本文定理中所述期望公式是服从二项分布的随机变量的期望公式更一般的情形.

4 定理的应用举例

本文定理内容所述试验是一类常见试验，故定理的结论具有广泛的应用性.下面举几例.

例1 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.

例3 （2005年高考福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分.甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望.

解 因为投中得1分，投不中得0分，所以两人得分之和ξ就是投中的次数.根据本文定理，Eξ=12+25=910=0.9（次）

例4 （2003年高考辽宁卷）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3.按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B12313A2对B22535A3对B32535现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后总分分别为ξ、η.

（1）求ξ、η的概率分布；

（2）求Eξ、Eη.

解 （1）略；（2）因为每场胜队得1分，负队得0分，所以A队最后总分ξ即为A队胜的次数.根据本文定理，Eξ=23+25+25=2215（分）；同理可求Eη=13+35+35=2315(分).

作者简介 曾令刚，男，37岁，中学数学高级教师.曾主讲研究课《高考创新试题探究》，并有多篇论文在省级刊物上发表.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”