领悟一道课本例题解决一类概率问题

　　人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)p•11有这样一道例题：有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次．求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字)．
　　课本中解答：
　　抽查次数ξ取1～10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0．85，前k-1次取出正品而第k次(k=1，2，…，9)取出次品的概率P(ξ=k)=0．85^k-1×0．15，(k=1，2，…，9).
　　需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ=10)=0．85⁹．
　　由此可得ξ的概率分布如下：
　　
　　
　　根据以上的概率分布，可得ξ的期望：Eξ=1×0.15+2×0.1275+…+10×0.2316=5.35.上课时，笔者先向同学提出以下几点问题：
　　(1)题目条件中没有说是“有放回”地抽查，还是“无放回”
　　地抽查，例题(课本例题的简称，以下同)的解答是否有问题?
　　(2)前k-1次抽到次品，第k次抽到正品，随机变量ξ服从几何分布，例题解答的分布列是否有问题?
　　(3)在例题解答中，有“需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ=10)=0．85⁹．为什么不考虑第10次的抽查结果?
　　待同学积极思考，热烈讨论大约10分钟后，笔者作如下讲解：
　　(1)题目中有条件“有一批数量很大的产品”，说明有限的少许几次抽查，是否放回对每次取到正品或次品的概率可以认为没有影响，因此，无需说明“是否放回”；
　　(2)课本p•7写道，随机变量ξ服从几何分布的条件：“ξ=k”表示第k次独立重复试验时事件第一次发生．强调的是:①前k-1次独立重复试验时，事件没有发生，第k次独立重复试验时事件第一次发生；②这样的独立重复试验可能无限次地进行下去．而例题中的随机变量“ξ=k”是指抽查k次，并不是“事件在第k次独立重复试验时第一次发生”，因此，不服从几何分布；
　　(3)例题中，“ξ=10”指需要抽查10次，前9次一定抽到正品，否则抽查早就结束，而第10次抽查时，没有说一定是抽到次品，可能抽到正品或次品，是一个必然事件；于是P(ξ=10)=0.85⁹×1.另一种理解：P(ξ=10)=0．85⁹×0．15+0．85⁹×0．85=0．85⁹×(0．15+0．85)=0．85⁹×1．
　　由于事先进行了精心准备和思考，所以上课时受到了学生的普遍欢迎，收效显著，学生掌握了知识的来龙去脉，解答自如，触类旁通．
　　例1(2005年高考广东卷第18题)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s∶t，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．
　　(Ⅰ)求ξ的分布列；
　　(Ⅱ)求ξ的数学期望．
　　分析若只注意到前k-1次取到白球，第k次取到黄球，则试验结束，很容易认为ξ服从几何分布，从而错误地得到Eξ=1/p=s+t/s.
　　其实，这道题的随机变量ξ不服从几何分布，一方面，可以是“ξ=0”；另一方面，“ξ=n”表示前n次都没有取到黄球(即取到黄球的事件没有发生).于是
　　(Ⅰ)ξ的分布列是：ξ012…n
　　
　　
　　正确写出分布列，是解决第二问的前提．
　　第（Ⅱ）问解答略.
　　例2袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止，求取球次数的分布列.
　　分析题中球的个数很少，未指明取出的黑球是否放回，所以本题应分两种情况解答.
　　（1）当取出的球为黑球时就放回，则随机变量ξ服从几何分布，
　　P（ξ=k)=（4/5）^k-1•1/5.
　　随机变量ξ的分布列是：ξ123…n…
　　
　　
　　(2)当取出的球为黑球时不放回，则随机变量η不服从几何分布：
　　P(η=1)=1/5=